Теплопроводность пластин

Подсказка

Закон Фурье аналогичен закону Ома: тепловые сопротивления пластин при последовательном соединении складываются, температура на стыке находится как «падение напряжения»; для воздуха теплопроводность растёт с температурой — разбейте слой на тонкие слои.

Ответ

1.1) \(q_{Ag}=8{,}58\cdot10^{4}\) Вт, \(q_{Pb}=7{,}02\cdot10^{3}\) Вт; 1.2) \(Q_{Ag}=2{,}47\cdot10^{6}\) Дж, \(Q_{Pb}=1{,}43\cdot10^{6}\) Дж; 1.3–1.4) \(q_1=q_2=\left(\dfrac1{q_{Ag}}+\dfrac1{q_{Pb}}\right)^{-1}=6{,}49\cdot10^{3}\) Вт; 1.5–1.6) температура стыка \(18{,}5\,^\circ\)C (Pb на холодной стороне) и \(1{,}5\,^\circ\)C (Ag на холодной стороне), \(Q_1=6{,}07\cdot10^{6}\) Дж, \(Q_2=1{,}73\cdot10^{6}\) Дж; 2.1) \(\langle l\rangle=\dfrac1{\pi d^2n}\); 2.2) \(z=\dfrac12\); 2.3) \(q_a\approx4{,}80\) Вт; 2.5) \(q_a=\dfrac{\lambda_0S}{2T_0l}(T_1^2-T_0^2)\approx4{,}98\) Вт; 2.6) \(Q=\dfrac54P_0V\dfrac{\Delta T}{T_0}\approx915\) Дж.

Решение

1.1 Для расчетов потоков теплоты надо просто подставить численные значения в заданную формулу и провести расчет Для серебра

\[q_{Ag} = \lambda S \frac{\Delta T}{h} = 8{,}58 \cdot 10^{4} \text{ Вт}\tag{1}\]

Для свинца

\[q_{Pb} = \lambda S \frac{\Delta T}{h} = 7{,}02 \cdot 10^{3} \text{ Вт}\tag{2}\]

1.2 Так как коэффициент теплопроводности постоянен в установившемся режиме температуру изменяется по линейному законы. Поэтому при расчетах можно считать, что среднее значение изменения температуры равно \(\delta T = \frac{1}{2} \Delta T\). После этого опять считаем Для серебра

\[Q_{Ag} = \frac{1}{2} c m \Delta t = \frac{1}{2} c \rho S h \Delta t = 2{,}47 \cdot 10^{6} \text{ Дж}\tag{3}\]

Для свинца

\[Q_{Pb} = \frac{1}{2} c \rho S h \Delta t = 1{,}43 \cdot 10^{6} \text{ Дж}\tag{4}\]

1.3 Для решения этого пункта воспользуемся упорно навязываемой аналогией с законами постоянного тока. Так для каждой пластины можно ввести и рассчитать тепловое сопротивление

\[R = \frac{1}{\lambda} \frac{h}{S}\tag{5}\]

Так как пластины соединены последовательно (теплота проходит через одну, потом через другую), то общее сопротивление равно сумме сопротивлений. Поэтому поток теплоты через сдвоенные пластины будет равен

\[q_1 = q_2 = \frac{\Delta T}{\frac{h}{\lambda_{Ag}S} + \frac{h}{\lambda_{Pb}S}}\tag{6}\]

Этой формуле можно придать интересный вид

\[q_1 = q_2 = \left( \frac{1}{q_{Ag}} + \frac{1}{q_{Pb}} \right)^{-1}\tag{7}\]

Расчеты по этой формуле дают значение

\[q_1 = q_2 = 6{,}49 \cdot 10^3 \, \text{Вт}\tag{8}\]

Как видно поток определяется потоком через плохо проводящий слой.

Для расчета количества теплоты, потраченное на нагревание необходимо сначала найти распределение температуры, т.е. решить следующие пункты задачи.

1-4 – 1.6 Распределение температуры в каждом слое, по-прежнему, линейное. Поэтому достаточно найти температуру стыка. Опять воспользуемся аналогией с протеканием электрического тока. Обозначим свойства вещества примыкающего к холодной стороне индексом «х», а к горячей стороне индексом «г». Тогда можно записать (здесь \(T_z\) - температура стыка):

\[T_z - T_0 = q R_x = \frac{\Delta T}{\frac{h}{\lambda_{Ag}S} + \frac{h}{\lambda_{Pb}S}} \cdot \frac{h}{\lambda_x S} = \frac{T_1 - T_0}{\frac{1}{\lambda_x} + \frac{1}{\lambda_z}} \frac{1}{\lambda_x}\tag{9}\]

Откуда следует, что

\[T_z = T_0 + \frac{T_1 - T_0}{\frac{1}{\lambda_x} + \frac{1}{\lambda_z}} \frac{1}{\lambda_x}\tag{10}\]

Проведем расчеты. В первом случае (\(Pb \to Ag\))

\[T_{z1} = T_0 + \frac{T_1 - T_0}{\frac{1}{\lambda_{Ag}} + \frac{1}{\lambda_{Pb}}} \frac{1}{\lambda_{Pb}} = 18{,}5^\circ C.\tag{11}\]

Во втором случае (\(Ag \to Pb\))

\[T_{z2} = T_0 + \frac{T_1 - T_0}{\frac{1}{\lambda_{Ag}} + \frac{1}{\lambda_{Pb}}} \frac{1}{\lambda_{Ag}} = 1{,}5^\circ C.\tag{12}\]

Во втором случае можно было просто вычислить \(T_{z2} = \Delta T - T_{z1}\). Графики зависимостей температуры от координаты показаны на рисунке. Видно, что основное «падение

температуры» происходит на свинцовой пластине. Также по графику видно, что основное различие в количестве теплоты возникает из-за того, что серебряная пластина в первом случае нагревается больше.

Для расчетов теплот учтем, что пластина, примыкающая к холодной стороне, в среднем нагрелась на \(\frac{1}{2}T_Z\); а вторая - на величину \(\frac{1}{2}(T_z + T_1)\).

Поэтому количество теплоты, которой пойдет на нагревания будет равно:

В первом случае (\(Pb \to Ag\)):

\[Q_1 = \frac{1}{2}c_{Pb}\rho_{Pb}ShT_Z + \frac{1}{2}c_{Ag}\rho_{Ag}Sh(T_Z + T_1) = 6{,}07 \cdot 10^6 \text{ Дж}\tag{13}\]

Во втором случае (\(Ag \to Pb\))

\[Q_1 = \frac{1}{2}c_{Ag}\rho_{Ag}ShT_Z + \frac{1}{2}c_{Pb}\rho_{Pb}Sh(T_Z + T_1) = 1{,}73 \cdot 10^6 \text{ Дж}.\tag{14}\]

Часть 2. Воздушная пластина.

В данной части задачи все температуры следует рассчитывать в шкале Кельвина.

2.1 Для определения вида зависимости длины свободного пробега от указанных параметров, заметим, что движущаяся молекула заметает на своем пути площадь равную \(\pi d^2\). На длине свободно пробега в цилиндре с указанной площадью поперечного сечения и высотой равной длине свободного пробега в среднем должна находиться одна молекула. Поэтому можно записать

\[\pi d^2 \langle l \rangle n = 1 \quad \Rightarrow \quad \langle l \rangle = \frac{1}{\pi d^2 n}.\tag{15}\]

2.2 Подставляя найденную зависимость в формулу для теплопроводности, получим выражение

\[\lambda = \frac{1}{3} \langle v \rangle \langle l \rangle \rho c_V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \cdot \frac{1}{\pi d^2 n} \cdot nm \cdot C_V M.\tag{16}\]

Из которого следует, что коэффициент теплопроводности воздуха пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры. Т.е. показатель степени \(z = \frac{1}{2}\). Важно также отметить, что теплопроводность не зависит от плотности (концентрации).

Экспериментальные данные показывают, что при температурах близких к комнатным показатель степени ближе к единице. Поэтому выбранная модель также имеет право на существование.

2.3 Используя формулу для потока теплоты, получаем, что поток теплоты через воздушную прослойку (в приближении постоянства теплопроводности) равен

\[\tilde{q}_a = \lambda S \frac{\Delta T}{h} = 4{,}80 \text{ Вт}\tag{17}\]

2.4 Так как теплопроводность воздуха возрастает с ростом температуры, то график температурного профиля будет выгнут вверх. Действительно, в тех местах, где теплопроводность больше, градиент температуры меньше.

2.5 Так как теплопроводность воздуха зависит от температуры, то она изменяется и при переходе от одной точки к другой. Поэтому закон теплопроводности Фурье следует записывать только для тонких слоев (т.е. в дифференциальной форме). Выразим зависимость теплопроводности от температуры посредством формулы

\[\lambda = \lambda_0 \frac{T}{T_0}.\tag{18}\]

И запишем уравнение Фурье для тонкого слоя воздуха \(\Delta x\):

\[q = \lambda_0 \frac{T}{T_0} \frac{\Delta T}{\Delta x} S.\tag{19}\]

Воспользуемся очевидной подсказкой и запишем

\[q \Delta x = \frac{\lambda_0 S}{2 T_0} \Delta(T^2)\tag{20}\]

Теперь легко просуммировать по всем слоям:

\[q l = \frac{\lambda_0 S}{2 T_0} (T_1^2 - T_0^2)\tag{21}\]

Откуда получаем окончательно для потока теплоты

\[q = \frac{\lambda_0 S}{2 T_0 l} (T_1^2 - T_0^2).\tag{22}\]

Расчет дает следующее численное значение: \(q_a = 4{,}98\) Вт, что несколько больше, чем получено ранее в приближенном расчете.

2.6 Так как объем воздуха не изменяется, то все полученная теплота пойдет на увеличение внутренней энергии воздуха. В установившемся режиме теплопередачи температура будет изменяться от точки к точке, постоянным будет оставаться давление! Поэтому выразим внутреннюю энергию воздуха через его давление:

\[U = \frac{5}{2} R \nu T = \frac{5}{2} P V.\tag{23}\]

Следовательно, изменение внутренней энергии воздуха (и равное ему количество полученной теплоты) выражается через изменение давления

\[Q = \Delta U = \frac{5}{2} V \Delta P.\tag{24}\]

Таким образом, нам необходимо рассчитать установившееся давление. Для этого воспользуемся условием постоянства числа молекул воздуха. Для этого разобьем воздушную пластину на тонкие слои \(\Delta x_i\). Концентрацию частиц в каждом слое можно выразить из уравнения состояние газа

\[n_i = \frac{P}{k T_i}.\tag{25}\]

Тогда общее число молекул можно получить, если просуммировать числа частиц во всех слоях

\[N = \sum_i \frac{P S}{k T_i} \Delta x_i.\tag{26}\]

Это же число можно выразить через начальные условия

\[N = \frac{P_0 S l}{k T_0}.\tag{27}\]

Таким образом, для определения давления получаем уравнение

\[P \sum _ { i } \frac { \Delta x _ { i } } { T _ { i } } = \frac { P _ { 0 } l } { T _ { 0 } } .\tag{28}\]

Прямое вычисление суммы требует расчета распределения температуры и последующего интегрирования. Можно поступить проще: выразим \(\Delta x _ { i }\) из уравнения теплопроводности (19):

\[q = \lambda _ { 0 } \frac { T } { T _ { 0 } } \frac { \Delta T } { \Delta x } S \quad \Rightarrow \quad \Delta x _ { i } = \lambda _ { 0 } \frac { T _ { i } } { T _ { 0 } } \frac { \Delta T _ { i } } { q } S\tag{29}\]

И после подстановки получим

\[\sum _ { i } \frac { \Delta x _ { i } } { T _ { i } } = \sum _ { i } \frac { 1 } { T _ { i } } \lambda _ { 0 } \frac { T _ { i } } { T _ { 0 } } \frac { \Delta T _ { i } } { q } S = \frac { \lambda _ { 0 } S } { q T _ { 0 } } \sum _ { i } \Delta T _ { i } = \frac { \lambda _ { 0 } S } { q T _ { 0 } } ( T _ { 1 } - T _ { 0 } ) .\tag{30}\]

Подставим найденное выражение для потока теплоты (22)

\[\sum _ { i } \frac { \Delta x _ { i } } { T _ { i } } = \frac { \lambda _ { 0 } S } { q T _ { 0 } } ( T _ { 1 } - T _ { 0 } ) = \frac { \lambda _ { 0 } S } { \displaystyle \frac { \lambda _ { 0 } S } { 2 T _ { 0 } l } ( T _ { 1 } ^ { 2 } - T _ { 0 } ^ { 2 } ) / T _ { 0 } } ( T _ { 1 } - T _ { 0 } ) = = \frac { 2 l } { ( T _ { 1 } + T _ { 0 } ) } .\tag{31}\]

Теперь из уравнения (28) находим

\[P \sum _ { i } \frac { \Delta x _ { i } } { T _ { i } } = \frac { P _ { 0 } } { T _ { 0 } } \quad \Rightarrow \quad P = P _ { 0 } \frac { T _ { 1 } + T _ { 0 } } { 2 T _ { 0 } }\tag{32}\]

Наконец, подставляем в формула для количества теплоты

\[Q = \frac { 5 } { 2 } V \Delta P = \frac { 5 } { 2 } P _ { 0 } V \left( \frac { T _ { 1 } + T _ { 0 } } { 2 T _ { 0 } } - 1 \right) = \frac { 5 } { 4 } P _ { 0 } V \frac { \Delta T } { T _ { 0 } }\tag{33}\]

Численное значение поглощенной теплоты равно \(Q = 915\) Дж.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.