Шар и клин на плите

Пусть \(v_0\) — начальная скорость шара. Закон сохранения горизонтальной составляющей импульса при ударе шара о поверхность клина: \[mv_0 = (m + M)v_x,\qquad(1)\] где \(v_x\) — горизонтальная составляющая скорости шара после столкновения, равная скорости клина (в противоположном случае шар не упадёт в ту же точку).

Закон сохранения энергии: \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m + M}{2}v_x^2 + \dfrac{m}{2}v_y^2,\qquad(2)\] где \(v_y\) — вертикальная составляющая скорости шара после столкновения с клином.

Пусть за время удара \(\Delta t\) шарика о клин между ними действовала сила, среднее значение которой равно \(F\). Тогда в проекциях на координатные оси уравнение второго закона Ньютона для обоих тел будет иметь вид \[mv_y = F\Delta t\cos\alpha,\qquad(3)\] \[Mv_x = F\Delta t\sin\alpha.\qquad(4)\] Из-за отсутствия трения сила \(\vec F\) направлена перпендикулярно поверхности клина. Исключив \(F\Delta t\) из (3) и (4), получим выражение \[\dfrac{m}{M}\dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad v_y = \dfrac{M}{m}v_x\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\qquad(5)\] Подставим \(v_y\) в (2) и преобразуем полученное выражение: \[m^2v_0^2 = \dfrac{m^2\sin^2\alpha + mM\sin^2\alpha + M^2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}v_x^2.\qquad(6)\] Возведя (1) в квадрат и поделив его на (6), найдём искомое соотношение: \[\dfrac{m}{M} = \dfrac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2.\]