Мальчик и наклонное зеркало

Мальчик видит изображение точки, если луч от неё, отражённый от зеркала, попадает ему в глаза. Постройте изображения глаз и ног в плоском зеркале и найдите, при каком положении мальчика это возможно.

Чтобы мальчик увидел изображение своих глаз, он должен иметь возможность смотреть на зеркало перпендикулярно зеркалу. Поэтому при приближении к зеркалу он впервые увидит изображение своих глаз, когда окажется на таком расстоянии от зеркала, когда увидит самую нижнюю точку зеркала (точку \(A\)), глядя на неё под прямым углом к плоскости зеркала. Поэтому в прямоугольном треугольнике \(H\Gamma A\) угол \(\Gamma AH\) равен \(90^\circ - \alpha\). И, следовательно, мальчик будет находиться на расстоянии \[d = h\,\operatorname{tg}\alpha\] от нижнего края зеркала.

Чтобы увидеть своё изображение целиком, мальчик должен увидеть изображение и изображение глаз, и изображение ног. Изображение глаз он будет видеть, находясь на любом расстоянии, более близком, чем \(d\). А вот чтобы увидеть изображение ног, он должен располагаться так, чтобы луч, идущий от ног и отразившийся от края зеркала, попал к нему в глаза. Отсюда из закона отражения находим, что угол между падающим от ног на край зеркала лучом \(HA\) и отражённым \(A\Gamma\) равен \(180^\circ - 2\alpha\) (изображение мальчика \(H\Gamma'\), зеркало размещено более круто, чем на предыдущем рисунке, для которого мальчик никогда не увидит изображение своих ног). При этом угол \(HA\Gamma\) должен обязательно быть острым, иначе мальчик никогда не увидит изображение своих ног. Поэтому минимальное расстояние от мальчика до нижнего края зеркала, при котором он увидит целиком своё изображение, есть \[s = h\,\operatorname{ctg}\left(180^\circ - 2\alpha\right) = -h\,\operatorname{ctg}2\alpha, \qquad \alpha > 45^\circ.\]