Переливания горячей и холодной воды

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для одного переливания «туда-сюда» и выясните, как меняется разность температур от пары к паре.

Решение

Очевидно, что в первый раз после возвращения горячей воды в сосуд с холодной водой её температура возрастёт на такую же величину \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\), на которую охладилась горячая вода. Действительно, пусть масса воды в сосудах \(m\). После одной пары переливаний «туда-сюда» она будет также равна \(m\), но температура воды в горячем сосуде будет меньше на величину \(\Delta t\). А значит, в течение одной пары переливаний вода в этом сосуде отдаст количество теплоты \(Q = cm\,\Delta t\) (\(c\) — удельная теплоёмкость воды), которое примет вода в холодном сосуде. А поскольку её масса такая же, она нагреется на ту же величину \(\Delta t\). Таким образом, разность температур воды в сосудах после одной пары переливаний «туда-сюда» уменьшится вдвое: была \(t_1 - t_2 = 40\,^\circ\text{C}\), стала \[(t_1 - t_2)_1 = t_1 - t_2 - 2\,\Delta t = 20\,^\circ\text{C}\] (где символом \((t_1 - t_2)_1\) обозначена разность температур после одной пары переливаний «туда-сюда»).

Очевидно, новая разность температур пропорциональна старой разности с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от масс воды в сосуде и переливаемой воды. Действительно, согласно уравнению теплового баланса передаваемые количества теплоты линейно зависят от температур, при этом новая разность температур (после одной пары переливаний) должна обращаться в нуль, если первоначальные температуры воды в сосудах одинаковы. Т. е. \[(t_1 - t_2)_1 = \alpha\,(t_1 - t_2),\] где коэффициент пропорциональности \(\alpha\) зависит только от масс воды в сосуде и переливаемой воды, но не от температур воды в сосудах (формулу (1) можно доказать непосредственным использованием уравнения теплового баланса). А поскольку во второй раз переливались те же массы воды, то разность температур воды в сосудах после второй пары переливаний \((t_1 - t_2)_2\) будет во столько же раз меньше величины \((t_1 - t_2)_1\), во сколько она меньше величины \(t_1 - t_2\). А поскольку, как это следует из данных условия, \[(t_1 - t_2)_1 = \frac{1}{2}\,(t_1 - t_2),\] то для разности температур воды в сосудах после второй пары переливаний получим \[(t_1 - t_2)_2 = \frac{1}{2}\,(t_1 - t_2)_1 = \frac{1}{4}\,(t_1 - t_2).\] Продолжая переливания, получим для разности температур после \(n\) пар переливаний \[(t_1 - t_2)_n = \frac{1}{2^n}\,(t_1 - t_2).\] Далее действуем подбором:

• одна пара переливаний: \((t_1 - t_2)_1 = \dfrac{1}{2}(t_1 - t_2) = 20\,^\circ\text{C}\);

• две пары: \((t_1 - t_2)_2 = \dfrac{1}{4}(t_1 - t_2) = 10\,^\circ\text{C}\);

• три пары: \((t_1 - t_2)_3 = \dfrac{1}{8}(t_1 - t_2) = 5\,^\circ\text{C}\);

• четыре пары: \((t_1 - t_2)_4 = \dfrac{1}{16}(t_1 - t_2) = 2{,}5\,^\circ\text{C}\);

• пять пар: \((t_1 - t_2)_5 = \dfrac{1}{32}(t_1 - t_2) = 1{,}25\,^\circ\text{C}\);

• шесть пар: \((t_1 - t_2)_6 = \dfrac{1}{64}(t_1 - t_2) = 0{,}625\,^\circ\text{C}\).

Т. е. чтобы разность температур воды в сосудах стала меньше одного градуса, нужно сделать шесть пар переливаний воды «туда-сюда».