Два пересекающихся проволочных кольца

Подумайте, какой симметрией обладает цепь и что можно сказать о токе между точками пересечения колец. Какую долю длины кольца занимает каждый участок между точками \(A\), \(C\), \(D\), \(B\)?

Поскольку электрическая цепь, составленная из колец, симметрична относительно прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\), ток между точками \(C\) и \(D\) (см. рисунок) не потечёт, и эти участки можно выбросить из цепи без изменения её сопротивления. Поэтому данная цепь эквивалентна цепи, показанной на следующем рисунке, причём сопротивления резисторов равны сопротивлениям проводов \(AC\) (или \(CB\), или \(AD\), или \(DB\)).

Эти сопротивления найдём из следующих соображений. Очевидно, что длины дуг \(CD\) равны \(\pi R/3\) (как дуг, опирающихся на угол \(\pi/3\)). Поэтому длина участка \(AC\) (или \(CB\), или \(AD\), или \(DB\)) равна \(\pi R - \dfrac{\pi R}{6} = \dfrac{5\pi R}{6}\). А поскольку сопротивление проволоки пропорционально её длине, сопротивление этих участков \(r_x\) найдём из пропорции \[\frac{2\pi R}{r} = \frac{5\pi R/6}{r_x}.\] Отсюда находим \[r_x = \frac{5r}{12}.\] Используя далее правила нахождения общих сопротивлений при последовательном и параллельном соединении проводников, получим для сопротивления цепи из колец \[r_0 = \frac{5r}{12}.\]