Пробка-конус в отверстии дна

Вода не окружает пробку со всех сторон, поэтому сила Архимеда не равна \(\rho g V\). Какую силу вода создаёт на поверхность пробки, которой у пробки, в отличие от усечённого конуса, нет? Как эта сила зависит от уровня воды?

Пробка всплывёт, если сила Архимеда, возникающая при наливании жидкости, будет больше силы тяжести пробки. Для вычисления силы Архимеда заметим, что жидкость не окружает пробку со всех сторон, поэтому здесь нельзя использовать формулу \(\rho g V\), а нужно явно вычислять равнодействующую сил, действующих на пробку со стороны жидкости. Рассмотрим сначала случай, когда уровень жидкости выше основания пробки.

Если бы пробка была не пробкой, а усечённым конусом, повторяющим ту часть пробки, которая находится выше отверстия (см. рисунок), то сила Архимеда определялась бы формулой \(\rho_0 g V_{\text{у.к.}}\), где \(V_{\text{у.к.}}\) — объём усечённого конуса (или его подводной части, если уровень жидкости в сосуде ниже основания конуса). Но верхнее основание и боковая поверхность у нашей пробки такие же, как у усечённого конуса, а вот нижнего основания, на которое действует сила со стороны жидкости, у пробки нет. А поскольку на нижнее основание усечённого конуса действует сила \(\rho_0 g h_{\text{ур}}\,\pi r^2\), где \(h_{\text{ур}}\) — глубина жидкости над отверстием, то выталкивающая сила, действующая на пробку, равна \[F_A = \rho_0 g\,V_{\text{у.к.}} - \rho_0 g\,h_{\text{ур}}\,\pi r^2 .\]

Отсюда видно, что при увеличении уровня жидкости сила Архимеда уменьшается, а при какой-то глубине даже меняет знак — становится силой, прижимающей пробку ко дну.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда уровень жидкости ниже основания пробки (см. рисунок). Используя ту же логику, для силы Архимеда в этом случае получим \[F_A = \rho_0 g\,V_{\text{п.ч.у.к.}} - \rho_0 g\,h_{\text{ур}}\,\pi r^2 ,\] где \(V_{\text{п.ч.у.к.}}\) — объём той части пробки, которая находится в жидкости («погружённая часть усечённого конуса»). Очевидно, что при увеличении уровня жидкости первое слагаемое увеличивается, второе — уменьшается (с учётом знака). Но поскольку уменьшение второго слагаемого при увеличении уровня на величину \(\Delta h\) равно \(\rho_0 g\,\Delta h\,\pi r^2\), а первое увеличивается на \(\rho_0 g\,\Delta h\,\pi r_x^2\) (где \(r_x\) — радиус сечения конуса на высоте поверхности жидкости), то, поскольку \(r_x \geq r\), с ростом уровня воды (пока уровень ниже верхнего основания пробки) выталкивающая сила растёт. Поэтому выталкивающая сила максимальна, когда уровень воды совпадает с верхним основанием пробки.

Обозначим \(H\) — высоту всей конической пробки, \(h_0\) — высоту «малого конуса», находящегося ниже уровня отверстия. Так как \(\operatorname{ctg}(\alpha/2) = H/R = h_0/r\), то высота усечённой части пробки, находящейся выше отверстия, равна \(H - h_0 = (R - r)\operatorname{ctg}(\alpha/2)\). Тогда максимальная сила Архимеда \[F_{A\,\max} = \rho_0 g\left[\frac{\pi (H-h_0)}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) - \pi r^2 (H-h_0)\right] = \frac{\pi}{3}\,\rho_0 g\,\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\,(R-r)^2\,(R+2r).\] Пробка всплывёт, если \(F_{A\,\max} > mg\), где \(m = \rho\,\dfrac{\pi}{3}R^2 H = \rho\,\dfrac{\pi}{3}R^3\operatorname{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\) — масса пробки (\(\rho\) — плотность её материала). Отсюда находим, что пробка всплывёт, если \[\rho < \rho_0\,\frac{(R-r)^2(R+2r)}{R^3} = \rho_0\left(1 - 3\,\frac{r^2}{R^2} + 2\,\frac{r^3}{R^3}\right).\]