Обезьянка и система блоков

Сравните силы натяжения в ветвях верёвки на каждом подвижном блоке и вспомните, что работа обезьянки идёт на изменение механической энергии системы.

Вопрос. Вариант такой «идеальной» системы приведён на рисунке: каждый из подвижных блоков даёт выигрыш в два раза, поэтому система из трёх последовательно соединённых подвижных блоков даёт выигрыш по силе в \(8\) раз. При этом верёвки требуется выбрать в \(8\) раз больше высоты подъёма груза.

Задача. Пока система находилась в равновесии, вес обезьянки уравновешивался тройной силой натяжения «правой» верёвки: \(T = \dfrac{Mg}{3}\). Равновесие верхнего подвижного блока, на который действуют сила натяжения «правой» верёвки и удвоенная сила натяжения «левой», даёт для «левой» верёвки \(T' = \dfrac{T}{2} = \dfrac{Mg}{6}\). Эта сила уравновешивает вес груза: \(T' = mg\), откуда \(m = \dfrac{M}{6} = 3{,}5\) кг.

При разгоне обезьянка увеличивает натяжение, и груз набирает скорость \(V\), направленную вверх; верхний подвижный блок при этом опускается со скоростью \(V/2\). Длина верёвки, идущей к грузу, уменьшается за время \(t\) на \(3Vt\) за счёт подъёма нижнего блока с обезьянкой и на \(\dfrac{V}{2}t\) за счёт опускания верхнего блока; эта сумма равна \(ut\). Отсюда \(3V + \dfrac{V}{2} = u\), то есть \(V = \dfrac{2u}{7}\), а скорость сближения блоков \(\dfrac{3V}{2} = \dfrac{3u}{7}\). Тогда время подъёма до столкновения блоков \[t = \frac{h}{3u/7} = \frac{7h}{3u} = 7~\text{с}.\]

Работа обезьянки — единственный источник увеличения механической энергии системы; она идёт на кинетическую энергию \(E_k = \dfrac{(M+m)V^2}{2} = \dfrac{Mu^2}{21} = 1\) Дж и на потенциальную энергию \(E_p = (M+m)g s = \dfrac{7}{9}Mgh \approx 480{,}2\) Дж (при \(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\), перемещение \(s = \dfrac{2h}{3}\)). Итак, \[A = E_k + E_p = M\left(\frac{u^2}{21} + \frac{7gh}{9}\right) = \frac{M(3u^2 + 49gh)}{63} \approx 481{,}2~\text{Дж}.\]