Кастрюля и компот

Запишите тепловой баланс для первого закипания, для остывания после долива и для второго закипания.

Вопрос. Скорость увеличения внутренней энергии воды равна разности потока тепла, поступающего от плиты, и потока тепла, рассеивающегося в окружающую среду. Первый зависит от мощности плиты и её температуры, второй — от свойств кастрюли и разности температур кастрюли и окружающей среды. Если \(P_н\) — мощность нагрева, а \(P\) — средняя мощность потерь, то средняя скорость увеличения внутренней энергии равна \(P_н - P\); вблизи \(20\,^\circ\)C она равна \(P_н\), а вблизи \(100\,^\circ\)C — \(P_н - 2P\). Среднее рассеиваемое тепло составляет не более \(10\%\) поступающего от плиты, поэтому указанная ошибка порядка \(10\%\). Влияние температуры кастрюли на поток тепла от плиты меньше, чем на поток тепла в окружающую среду, но всё же есть; с его учётом ошибка возрастёт менее чем в два раза, и наиболее надёжная оценка — не более \(20\%\).

Задача. Пусть \(N\) — скорость поступления тепла в кастрюлю (мощность плиты минус мощность потерь в окружающую среду), которую считаем неизменной. Пусть \(C_K\) — теплоёмкость кастрюли вместе с компотом, \(C_B\) — теплоёмкость долитой воды. Тепловой баланс для первого закипания: \(NT = C_K(t_1 - t_0)\), откуда \(\dfrac{N}{C_K} = \dfrac{t_1 - t_0}{T}\). Для охлаждения компота после долива до температуры \(t\): \(C_K(t_1 - t) = C_B(t - t_0)\), откуда \(\dfrac{C_B}{C_K} = \dfrac{t_1 - t}{t - t_0}\). Тепловой баланс для повторного закипания: \(N\tau = (C_K + C_B)(t_1 - t)\). Разделив обе части на \(C_K\) и используя полученные соотношения, получаем \[\frac{N}{C_K}\,\tau = \left(1 + \frac{C_B}{C_K}\right)(t_1 - t) \quad\Rightarrow\quad t = \frac{Tt_1 + \tau t_0}{T + \tau} \approx 89\,^\circ\text{C}.\]