Задачи › Равномерное движение, средняя скорость

Трек с тремя дорожками

  1. Трек с тремя дорожками

    «Покори Воробьёвы горы!» 2014/15, 7-9 кл.
    4/10

    Вопрос: Тело прошло первую половину пути со скоростью \(3\) м/с, а вторую — со скоростью \(6\) м/с. Чему равна его средняя скорость на этом пути?

    Задача: Юные техники собрали трек для испытания своих моделей. Круглый трек состоит из трёх дорожек. Внутренняя дорожка покоится, средняя движется по часовой стрелке со скоростью \(1\) м/с, а внешняя движется в ту же сторону, что и средняя, со скоростью \(1{,}9\) м/с. Когда по треку по часовой стрелке запустили модель автомобильчика, оказалось, что наименьшее время понадобилось автомобилю для совершения круга по средней дорожке, а наибольшее — по внутренней дорожке. Определить скорость модели с ошибкой не более \(0{,}2\) м/с, если радиусы дорожек \(R_1 = 5\) м, \(R_2 = 7\) м, \(R_3 = 9\) м. Какова наилучшая возможная точность?

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Средняя скорость на пути — это не среднее арифметическое скоростей. Для трека запишите время круга на каждой дорожке через скорость модели и сравните времена.

    Ответ

    Вопрос: \(v_{ср} = 4\) м/с.  Задача: \(V \approx (2{,}26 \pm 0{,}12)\) м/с.

    Решение

    Вопрос. Средняя скорость на пути \(s\): \(v_{ср} = \dfrac{s}{s/(2v_1) + s/(2v_2)} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2} = 4\) м/с.

    Задача. Пусть \(V\) — скорость автомобильчика в м/с. Тогда времена прохождения кругов: \(t_1 = \dfrac{2\pi R_1}{V}\), \(t_2 = \dfrac{2\pi R_2}{1+V}\) и \(t_3 = \dfrac{2\pi R_3}{1{,}9+V}\). По условию \(t_2 < t_3 < t_1\). Наиболее строгие границы для скорости дают «крайние» неравенства: \[t_2 < t_3 \;\Rightarrow\; \frac{R_2}{1+V} < \frac{R_3}{1{,}9+V} \;\Rightarrow\; V > \frac{43}{20}~\text{м/с}, \qquad t_3 < t_1 \;\Rightarrow\; \frac{R_3}{1{,}9+V} < \frac{R_1}{V} \;\Rightarrow\; V < \frac{19}{8}~\text{м/с}.\] Среднее значение для полученного интервала \(V \approx \dfrac{181}{80}~\text{м/с} \approx 2{,}26\) м/с. Возможный разброс значений меньше \(0{,}2\) м/с (он меньше \(0{,}12\) м/с). Ответ: \(V \approx (2{,}26 \pm 0{,}12)\) м/с.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх