Невидимый стержень

Решение

A1. Метод

Пусть большее плечо (расстояние от конца стержня до точки подвеса) равно \(L_1\), меньшее плечо \(-L_2\) а масса стержня \(M\). Найдём соотношение для масс подвешенных грузов \(m_2\) и \(m_1\), обеспечивающих равновесие. Из рассмотрения моментов сил имеем:

\[m_2L_2=m_1L_1+\frac{M(L_1+L_2)}{2},\]ведь сила тяжести стержня приложена к его середине, а тогда её плечо – это \({(L_1-L_2)}/{2}\) (рис.2).

Рис. 2

Введём массу скрепки \(m\), тогда в переменных \(x = {m_1}/{m}\) и \(y = {m_2}/{m}\)

\[y = \lambda x + {\mu(\lambda -1)}/{2}\]

где \(\lambda={L_1}/{L^2}\), а \(\mu = {M}/{m}\). График зависимости \(y(x)\) – прямая с угловым коэффициентом \(\lambda\), значение \(y\) при \(x=0\) – \(y_0 ={\mu(\lambda -1)}/{2}\).

Однако уравновесить систему целым числом скрепок не удаётся, то есть нельзя установить прямо из измерений зависимость \(y\) от \(x\). Но при заданном целом \(x\) можно получить ближайшее целое \(y\) с избытком (перевес) и с недостатком (недовес), когда длинная часть стержня упирается в крышку или дно коробки.

Измерения и обработка

Проводим для достаточного количества целых \(x\) измерения \(y\) с избытком и недостатком.

На листе миллиметровой бумаги в координатах \(x y\) наносим точки. Соединяем ломаной экспериментально полученные точки с избытком – верхняя синяя линия, и с недостатком – нижняя красная линия, она получается из верхней сдвигом вниз на \(1\). «Точный» прямолинейный график должен лежать в коридоре между этими ломаными. То же даст проведение единичных отрезков вниз от \(y\) с избытком, точный график должен пересекать все эти отрезки.

Прикладывая линейку, находим граничные прямые с наибольшим и наименьшим наклоном, лежащие в коридоре. Если эти прямые сильно расходятся, то удлиняем коридор, проводя дополнительные измерения.

Определение массы

Для граничных прямых определяем \(y_0\) и \(\lambda\) и находим \(\mu ={2 y_0}/{(\lambda -1)}\). После чего находим средние арифметические значения, а погрешность даётся половиной разницы максимального и минимального значения. В случае, отвечающим ломаным на нашем рисунке, \(\lambda = 1.40\) и

Ответ:

\[\mu_{ср} = 8.2\]

а \(\Delta \lambda = 0.04\) и \(\Delta \mu = 0.6\).

Примечание

В переменных \(z = \mathrm y – x\) соотношение \((1)\) даёт: \(z = k(x + {\mu}/{2})\), где \(k =\lambda – 1\). При \(z = 0\) тогда \(x=-{\mu}/{2}\) и можно «прочитать» искомую массу на графике по пересечению граничных прямых с горизонтальной осью.

Возможно, участники олимпиады ограничатся всего двумя измерениями; если при этом максимальное \(x\) будет достаточно большим (\(\sim20\)), то проведение граничных прямых (диагоналей параллелограмма) может дать неплохую точность. Но этот способ всё же не самый точный...

Источник: pho.rs/p/3910.