Дуговой разряд

Заданная в условии вольт-амперная характеристика дуги представляет собой связь тока \(I\) и равновесного напряжения \(U_e\) дуги, то есть напряжения, при котором ток дуги стационарен, не меняется с течением времени: \[U_e = A + \frac{B}{I}. \tag{190}\] Если при данном токе \(I\) напряжение на дуге окажется меньше величины \(U_e\), то ток будет уменьшаться со временем и дуга может погаснуть.

При слишком большом напряжении ток будет расти, что может привести к пробою. По закону Ома для участка цепи \(1\)–\(\mathcal{E}\)–\(2\) (левый рисунок), по которому течёт тот же ток \(I\), что и в дуге, \(IR = \varphi_1 - \varphi_2 + \mathcal{E} = \mathcal{E} - U\), где \(U = \varphi_2 - \varphi_1\) — напряжение, подаваемое на дугу. Отсюда \[U = \mathcal{E} - IR. \tag{191}\] Изобразим графически функции \(U_e(I)\) и \(U(I)\) (правый рисунок). В точках \(A\) и \(E\) пересечения графиков подаваемое на дугу напряжение соответствует равновесному значению. Если графики не пересекаются (пунктирная прямая), то стационарного тока в дуге быть не может. Для нахождения координат точек \(A\) и \(E\) следует приравнять правые части выражений (190) и (191). Полученное квадратное уравнение \[I^2R + (A - \mathcal{E})I + B = 0 \tag{192}\] имеет действительные корни лишь при условии положительности дискриминанта, то есть при \[(A - \mathcal{E})^2 - 4RB \geqslant 0, \qquad\text{или}\qquad R \leqslant \frac{(A - \mathcal{E})^2}{4B} = 20{,}25\text{ Ом}.\] Только при таких сопротивлениях \(R\) и возможно устойчивое горение дуги. Найден ответ на первый вопрос задачи.

Для ответа на второй вопрос следует вычислить корни уравнения (192): \[I_1 = \frac{\mathcal{E} - A - \sqrt{(A - \mathcal{E})^2 - 4RB}}{2R} = 1{,}2\text{ А}, \qquad I_2 = \frac{\mathcal{E} - A + \sqrt{(A - \mathcal{E})^2 - 4RB}}{2R} = 10\text{ А}.\] Первый корень соответствует точке \(A\) (рисунок справа), второй — точке \(E\). Проанализируем устойчивость горения дуги при параметрах цепи, соответствующих этим точкам.

Рассмотрим точку \(E\). Если ток дуги случайно увеличится, то состояние цепи будет соответствовать точке \(C\). Напряжение, подаваемое на дугу, окажется меньше равновесного для дуги значения, ток начнёт уменьшаться, и состояние \(E\) восстановится. При случайном уменьшении тока дуги (переход от точки \(E\) к точке \(D\)) напряжение превысит равновесное значение, что приведёт к увеличению тока и восстановлению равновесия. Аналогичный анализ для точки \(A\) приводит к заключению, что она соответствует неустойчивому горению. Итак, при заданном \(R\) в цепи установится ток \(I = 10\) А.