Нагреватель

Графическое представление экспериментальных данных (см. рисунок) позволяет обнаружить три этапа процесса:

1) от \(31{}^\circ\text{C}\) до \(33{}^\circ\text{C}\);

2) от \(33{}^\circ\text{C}\) до \(35{}^\circ\text{C}\);

3) от \(35{}^\circ\text{C}\) до \(37{}^\circ\text{C}\).

Температура плавления. На втором этапе мощность нагревателя резко увеличивается, значит, именно в этот момент происходит плавление вещества \(X\), то есть \(T_{\text{пл}} = (34{,}0 \pm 0{,}5)\,{}^\circ\text{C}\). Наличие погрешности результата связано не с точностью исходных данных, а с их дискретностью, составляющей \(1\,{}^\circ\text{C}\).

Мощность теплопотерь. На первом и третьем этапах мощность нагревателя линейно зависит от температуры, что при условии постоянства теплоёмкостей может объясняться только наличием теплопотерь, мощность которых \(P_0 = k(T - T_0)\), где \(k\) — константа, характеризующая калориметр. Из таблицы в условии видно, что мощность увеличивается на \(\Delta P = 5\) Вт при повышении температуры на \(\Delta T = 1\,{}^\circ\text{C}\), следовательно, коэффициент пропорциональности \(k = \Delta P/\Delta T = 5\) Вт/\({}^\circ\)C. Чтобы поддерживать вещество \(X\) в калориметре при постоянной температуре, нагреватель должен подводить мощность, равную мощности теплопотерь, поэтому \(P_{\text{пл}} = k(T_{\text{пл}} - T_0) = (70 \pm 3)\) Вт. Погрешность \(P_{\text{пл}}\) обусловлена погрешностью \(T_{\text{пл}}\) из предыдущего пункта.

Удельные теплоёмкости. За малый промежуток времени \(\Delta t\) температура системы повышается на \(\Delta T = v\Delta t\). Пусть \(c\) — удельная теплоёмкость вещества \(X\) при температуре \(T\) на первом или третьем этапе, тогда уравнение теплового баланса на промежутке времени \(\Delta t\) будет иметь вид \[\bigl(P - k(T - T_0)\bigr)\Delta t = (cm + C)\Delta T,\] откуда \[c = \frac1m\left(\frac{P - k(T - T_0)}{v} - C\right).\] Подставляя сюда данные для любых точек на первом и третьем этапах, находим соответственно \[c_{\text{тв}} = 500\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)} \qquad\text{и}\qquad c_{\text{жид}} = 300\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}.\] Погрешности здесь не рассчитаны, так как они могут быть связаны только с погрешностью исходных данных, которой по условию можно пренебречь.

Удельная теплота плавления. Мощности нагревателя на границах второго этапа (\(P_{33} = 165\) Вт и \(P_{35} = 155\) Вт) близки между собой и существенно меньше мощности в середине второго этапа (\(P_{34} = 760\) Вт), поэтому можно считать, что для нагрева системы и компенсации теплопотерь на втором этапе требуется средняя мощность \(P_{\text{ср}} = (P_{33} + P_{35})/2 = 160\) Вт, а дополнительная мощность \(P_{\text{доп}} = P_{34} - P_{\text{ср}} = 600\) Вт расходуется на плавление.

Логично предположить, что полученные в эксперименте мощности \(P\) являются средними значениями за промежуток времени \(\Delta t = \Delta T/v = 1\) с между соседними измерениями, тогда из уравнения теплового баланса для плавления \[P_{\text{доп}}\Delta t = \lambda m\] находим \[\lambda = (6000 \pm 50)\text{ Дж/кг}.\] Погрешность последнего результата оценена через диапазон возможных значений \(P_{\text{доп}} = (600 \pm 5)\) Вт, зависящий от \(P_{\text{ср}} = (160 \pm 5)\) Вт, и получилась весьма небольшой для подобных измерений, однако следует учесть, что, если предположение об усреднении мощности в реальности не выполняется, то полученное значение \(\lambda\) может в разы отличаться от истинного.