Пробирка

Согласно условию направим ось \(x\) вертикально вниз и выберем \(0\) в положении равновесия пробирки. В этом положении внешние силы компенсируют друг друга, а при смещении пробирки на \(x\) вниз изменяется только сила Архимеда (за счёт изменения объёма погруженной части на \(\Delta V = Sx\)), поэтому возникает результирующая сила, равная изменению силы Архимеда: \[F = -\rho g\Delta V = -\rho gSx, \tag{24}\] где знак минус отражает направление силы \(F\) вверх, то есть против оси \(x\).

Пусть \(x\) и \(a\) — координата и ускорение пробирки в произвольный момент времени \(t\), тогда с учётом выражения (24) второй закон Ньютона имеет вид \[ma = -\rho gSx,\] откуда \[a + \frac{\rho gS}{m}\cdot x = 0. \tag{25}\] Из теории колебаний известно, что уравнение \(\ddot x + \omega^2x = 0\), где \(\ddot x\) — вторая производная зависимости \(x\) от времени \(t\) (например, если \(x\) — координата, то \(\ddot x\) — ускорение), описывает незатухающие гармонические колебания: \[x(t) = A\cdot\sin(\omega t + \varphi), \tag{26}\] где \(\omega\) — циклическая частота, задаваемая исходным уравнением, \(A\) и \(\varphi\) — соответственно амплитуда и начальная фаза, зависящие от начальных условий.

Таким образом, из уравнения (25) следует, что пробирка будет совершать гармонические колебания по закону (26) с циклической частотой \(\omega = \sqrt{\rho gS/m}\). Продифференцируем зависимость \(x(t)\) для нахождения скорости пробирки: \[v(t) = A\omega\cdot\cos(\omega t + \varphi). \tag{27}\] В начальный момент времени пробирка имела координату \(x_0\) и скорость \(v_0\), а из общих формул (26) и (27) при \(t = 0\) следует, что \[x_0 = A\sin\varphi \qquad\text{и}\qquad v_0 = A\omega\cos\varphi,\] откуда \[A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \qquad\text{и}\qquad \varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{\omega x_0}{v_0}\right),\] причём при нахождении \(\varphi\) было использовано условие \(v_0 > 0\) и достаточность для описания колебаний лишь одного значения из множества всех решений.

После подстановки найденных \(\omega\), \(A\) и \(\varphi\) в уравнение (26) окончательно получим \[x(t) = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}\cdot\sin\left(\sqrt{\frac{\rho gS}{m}}\cdot t + \operatorname{arctg}\left(\frac{\omega x_0}{v_0}\right)\right).\]