Наклонная плоскость

Сила трения постоянна по модулю и направлена против скорости — её работа равна \(-\mu mg\cos\alpha\), умноженному на путь. Во втором пункте учтите, что после верхней точки груз ещё какое-то время тормозит: найдите, где скорость минимальна.

Так как стержень жесткий и изначальная скорость сообщена вдоль наклонной плоскости, то тело будет двигаться по окружности радиуса \(L\).

При движении на груз действуют четыре силы: потенциальная сила тяжести и непотенциальные силы трения и реакции опоры со стороны стержня и плоскости. Сила реакции со стороны стержня, как и сила реакции со стороны плоскости, в любой момент времени направлены перпендикулярно скорости, поэтому их работа равна нулю. Сила трения постоянна по модулю и в любой момент направлена против скорости, поэтому работа силы трения будет равна \(A_\text{тр} = -F_\text{тр}S\), где \(S\) — длина пути, пройденного телом. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную плоскости: \(N - mg\cos\alpha = 0\). Так как тело скользит, то на него действует сила трения скольжения, равная \(F_\text{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\). Пусть скорость груза в верхней точке равна 0. Запишем связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения: \[(mg\cdot 2L\sin\alpha - 0) + \left(0 - \frac{mv_1^2}{2}\right) = -\mu mg\cos\alpha\cdot\pi L.\] Скорость \(v_1\) будет равна \[v_1 = \sqrt{gL(4\sin\alpha + 2\mu\pi\cos\alpha)} = \sqrt{(4 + \pi)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}14\,gL\sin\alpha}.\]

Рассмотрим в произвольный момент времени проекции сил, действующих на груз, на ось, сонаправленную скорости. Не нулевыми на эту ось будут только проекции силы тяжести и силы трения. Пока груз движется от нижней точки к самой верхней, обе проекции будут отрицательными, значит модуль скорости груза будет уменьшаться. В процессе дальнейшего движения проекция силы тяжести станет положительной и будет постепенно возрастать от нулевого значения, значит скорость тела первое время продолжит уменьшаться и достигнет минимума в точке, когда проекция силы тяжести скомпенсирует проекцию силы трения: \[mg\sin\alpha\sin\beta - \mu mg\cos\alpha = 0\] (здесь \(\beta\) — угол между стержнем и «вертикалью», то есть прямой, проходящей через верхнюю точку траектории груза и шарнир). Отсюда получим, что \[\sin\beta = \frac{\mu}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac12 \;\Rightarrow\; \beta = \frac{\pi}{6}.\] Так как работа силы трения и изменение потенциальной энергии при перемещении в фиксированное положение не зависят от величины начальной скорости, то минимальному значению скорости на старте соответствует нулевое значение минимальной скорости в процессе дальнейшего движения. Запишем опять связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения: \[(mg\cdot L\sin\alpha\cdot(1 + \cos\beta) - 0) + \left(0 - \frac{mv_2^2}{2}\right) = -\mu mg\cos\alpha\cdot(\pi + \beta)L.\] Тогда \[v_2^2 = 2gL\sin\alpha\cdot(1 + \cos\beta) + 2\mu g\cos\alpha(\pi + \beta)L = gL\sin\alpha\left(2 + \sqrt3 + \frac{7\pi}{6}\right),\] откуда \[v_2 = \sqrt{(2 + \sqrt3 + 7\pi/6)gL\sin\alpha} \approx \sqrt{7{,}40\,gL\sin\alpha}.\]