Командная работа

Правый рабочий может тянуть верёвку вправо с силой не больше силы трения. Для левого запишите равновесие по вертикали и горизонтали и ограничения на силу трения и реакцию пола.

Правый рабочий может тянуть верёвку вправо с силой \(F_п\), причём \[0 \le F_п \le \mu m g = \frac34 m g .\] Левого рабочего тянет сила \(T = \frac54 m g\) под углом \(\alpha\). Равновесие по вертикали: \[\frac54 mg\sin\alpha = mg - N ,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(0 \le N \le mg\). Равновесие по горизонтали: \[\frac54 mg\cos\alpha = F_п + F_л ,\] где \(F_л\) — сила трения левого рабочего о пол, \(|F_л| \le \frac34 N = \frac34 mg\left(1 - \frac54\sin\alpha\right)\).

Объединяя эти соотношения, \[-\frac34 N \le \frac54 mg\cos\alpha \le \frac34 mg\left(2 - \frac54\sin\alpha\right) .\] Для углов \(0 \le \alpha \le 90^\circ\) нижнюю границу можно отбросить. Тогда \[\frac45\cos\alpha + \frac35\sin\alpha \le \frac{24}{25} .\] Введём угол \(\beta\) так, что \(\sin\beta = \frac45\), \(\cos\beta = \frac35\). Тогда \(\sin(\alpha + \beta) \le \dfrac{24}{25}\). С другой стороны, из условия \(N \ge 0\) получаем \(\sin\alpha \le \dfrac45\), что в нашем диапазоне углов равносильно \(\alpha \le \beta\).

Так как \(\sin 2\beta = \dfrac{24}{25}\) и \(90^\circ < 2\beta < 120^\circ\), из тригонометрической окружности получаем, что решение состоит из промежутка \([0;\,180^\circ - 3\beta]\) и изолированной точки \(\{\beta\}\). Приближённо \([0;\,20{,}6^\circ]\cup\{53{,}1^\circ\}\).