Вантуз

Представьте деформированную полусферу с воздухом внутри, окружённую водой: сила Архимеда на неё равна разности сил давления снизу и сверху. Объём её выемки найдите через массу полусферы.

Когда полусфера плавает, сила тяжести равна силе Архимеда: \(mg = \rho g V\), где \(V\) — объём погружённой части (шарового сегмента высоты \(r/2\)). Отсюда \[V = \frac{m}{\rho} .\] Силу давления воды на деформированную полусферу найдём так. Если бы фигура такой же формы и с воздухом внутри была окружена водой со всех сторон, сила Архимеда складывалась бы из сил давления воды на верхнюю и нижнюю части: \(F_A = F' - F\), где \(F\) — сила давления на верхнюю часть (части сфер), \(F'\) — на нижнюю (круг). Сила давления на нижнюю часть на глубине \(h\): \[F' = p\,S = \rho g h\,\pi r^2 .\] Объём деформированной полусферы с воздухом равен объёму полусферы, из которого вычли \(2V\) (касание возможно только при высоте выгнутой части \(r/2\)). Поэтому \[F_A = \rho g\left(\frac23\pi r^3 - 2V\right) = g\left(\frac23\pi\rho r^3 - 2m\right) .\] Искомая сила \[F = F' - F_A = \rho g h\pi r^2 - g\left(\frac23\pi\rho r^3 - 2m\right) = \pi\rho g r^2\left(h - \frac23 r\right) + 2mg .\]