Представьте себе

Разложите ускорение свободного падения на компоненту перпендикулярно склону (она даёт время полёта) и вдоль склона (она даёт дальность). Сравните дальности прыжков вверх, вниз и по основанию.

Рассмотрим прыжок со скоростью \(v\) под углом \(45^\circ\) к наклонной поверхности с углом наклона \(\alpha\). Направим ось \(y\) перпендикулярно плоскости, ось \(x\) — вдоль неё. Перпендикулярная компонента ускорения \(g_y = g\cos\alpha\) даёт время полёта \[t = \frac{2v_y}{g_y} = \frac{\sqrt2\,v}{g\cos\alpha} .\] Компонента \(g_x = g\sin\alpha\) вдоль плоскости даёт дальность полёта \[\ell = v_x t - \frac{g_x t^2}{2} = \frac{v^2}{g\cos\alpha}\,(1 - \operatorname{tg}\alpha) .\] Эта формула годится и для подъёма, и для спуска (надо изменить знак угла). Для прыжков по горизонтальному основанию (\(\alpha = 0\)) дальность \(\ell_3 = \dfrac{v^2}{g}\). Тогда \[\ell_1 = \frac{v^2}{g\cos\alpha}(1 - \operatorname{tg}\alpha) , \qquad \ell_2 = \frac{v^2}{g\cos\alpha}(1 + \operatorname{tg}\alpha) .\] Пусть \(L\) — длина образующей конуса, \(R\) — радиус основания, \(N_3\) — число прыжков вокруг основания. Тогда \[\ell_1 = \frac{L}{N_1}, \qquad \ell_2 = \frac{L}{N_2}, \qquad \ell_3 = \frac{2\pi R}{N_3} .\] Заметим, что \(\ell_1 + \ell_2 = \dfrac{2v^2}{g\cos\alpha} = \dfrac{2\ell_3}{\cos\alpha}\). Используя \(\cos\alpha = R/L\), получаем \[\frac{L}{N_1} + \frac{L}{N_2} = \frac{4\pi L}{N_3} ,\] откуда \[N_3 = \frac{4\pi N_1 N_2}{N_1 + N_2} .\]