Шары или сферы

Объём шара пропорционален кубу диаметра, а объём тонкой сферы пропорционален площади её поверхности и толщине стенки. Сравните диаметры больших и маленьких сфер по первому условию.

Объём шара выражается через диаметр \(d\) как \(V_{\text{шара}}=\alpha d^3\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент. Если объёмы шаров относятся как \(1\!:\!64\), то их диаметры относятся как \(1\!:\!4\).

Объём тонкой сферы толщины \(h\) с диаметром \(d\) равен разности объёмов двух шаров, диаметры которых отличаются на \(2h\): \[V_{\text{сферы}} = \alpha\bigl((d+2h)^3-d^3\bigr) \approx 6\alpha\, h d^2,\] так как стенки тонкие, то есть \(h/d \ll 1\), и слагаемыми высших порядков по \(h/d\) можно пренебречь.

Значит, материала на сферу пропорционально квадрату диаметра. Для большой сферы диаметр в \(4\) раза больше, поэтому материала нужно в \(4^2=16\) раз больше, то есть \(16\) кг. Остаётся \(64-16=48\) кг материала.