Пружины

Сначала найдите силу Архимеда, при которой пружины сжаты на \(\Delta x/2\), и объём погружённой части стакана. Помните, что погружение может происходить в два этапа.

Когда в бассейне нет воды, на стакан действуют сила тяжести и сила упругости нижних пружин. Обозначим эффективную жёсткость этих пружин \(k_0\); тогда \[mg - k_0\,\Delta x = 0.\] Когда пружины сжаты на \(\Delta x/2\), к силам добавляется сила Архимеда \(F_{\text{Арх}}\): \[mg + F_{\text{Арх}} - \frac{k_0\,\Delta x}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{\text{Арх}} = \frac{mg}{2}.\] Значит, объём погружённой части стакана должен быть \[V_{\text{п}} = \frac{m}{2\rho}.\] Сначала вода набирается, и растяжение пружин уменьшается. Глубина, при которой объём погружённой части равен \(V_{\text{п}}\) (рис. 1): \[SH = \frac{m}{2\rho} \quad\Rightarrow\quad H = \frac{m}{2S\rho}.\] Сила Архимеда растёт, пока стакан не погрузится целиком. После этого давление воды сжимает внутреннюю пружину, объём погружённой части уменьшается, а с ним и сила Архимеда. Пусть глубина равна \(H\) (рис. 2), тогда внутренняя пружина сжата на \(\ell\): \[k\ell = S\rho g(H - h + \ell) \quad\Rightarrow\quad \ell = \frac{S\rho g(H - h)}{k - S\rho}.\]

Чтобы пружины были сжаты на \(\Delta x/2\), должно выполняться \(V_{\text{п}} = S(\ell - h) = \dfrac{m}{2\rho}\), откуда \[\frac{hk - HS\rho}{S\rho - k} = \frac{m}{2S\rho},\] и глубина \[H = \frac{km}{2gS^2\rho^2} + \frac{2hk - mg}{2Sg\rho}.\]