Тепло

Мощность постоянна, поэтому тепло пропорционально времени. Сравните тепло, ушедшее на нагрев льда и на плавление за время \(\Delta t\), когда лёд имеет температуру \(0\,^{\circ}\)C.

Пусть масса ледяной крошки в блюдце равна \(M\), мощность плиты \(P\). За первые \(t\) секунд льду передано тепло \(Pt\); оно пошло на нагрев льда на \(\Delta T = 10\,^{\circ}\)C и на плавление части льда массой \(m_1\): \[Pt = c_{\text{л}} M \Delta T + \lambda m_1.\] Дальше, пока весь лёд не растаял, в блюдце лёд и вода при \(0\,^{\circ}\)C, и всё тепло идёт на плавление. За \(\Delta t\) растаяла масса \[m_2 = \frac{P\,\Delta t}{\lambda}.\] Вода перестала переливаться, когда растаяла половина льда: \(m_1 + m_2 = \dfrac{M}{2}\). Подставляя \(m_1\) в первое уравнение, получаем \[P(t + \Delta t) = c_{\text{л}} M \Delta T + \frac{\lambda M}{2}.\] Через таяние оставшегося льда массой \(M/2\) и нагрев воды до \(5\,^{\circ}\)C в блюдце останется вода массой \(M - m_2\) (масса \(m_2\) вылилась через край). Значит, \[P\,t_x = \frac{\lambda M}{2} + c_{\text{в}}(M - m_2)\cdot 5\,^{\circ}\text{C}.\] Так как \(c_{\text{в}} = 2c_{\text{л}}\), с учётом предыдущего уравнения получаем \[P\,t_x = P(t + \Delta t) - P\,\Delta t\,\frac{c_{\text{л}}\cdot 5\,^{\circ}\text{C}}{\lambda},\] и искомое время \[t_x = t + \Delta t\left(1 - \frac{c_{\text{л}}\cdot 5\,^{\circ}\text{C}}{\lambda}\right) = 20\,\text{с} + 15\,\text{с}\cdot\left(1 - \frac{2{,}1\cdot 5}{330}\right) \approx 34{,}5\,\text{с}.\]