Два автомобиля на перекрёстке

Перейдите в систему отсчёта одного из автомобилей: второй движется относительно неё с постоянной скоростью. Какова её направление относительно начального расстояния между машинами?

Свяжем неподвижную систему отсчёта с дорогой. Радиус-векторы автомобилей \(\vec r_1 = \vec r_{01} + \vec v_1 t\), \(\vec r_2 = \vec r_{02} + \vec v_2 t\). Вектор расстояния между автомобилями \[\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = \vec l + \vec v_{\text{отн}}\,t,\] где \(\vec l\) — вектор начального расстояния между автомобилями, \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2\) — вектор относительной скорости.

Так как в начальный момент автомобили находятся на одинаковых расстояниях от перекрёстка и \(|\vec v_1| = |\vec v_2| = v\), то \(\vec v_{\text{отн}} \perp \vec l\) и \(v_{\text{отн}} = 2v\cos 30^\circ = v\sqrt{3}\). Из геометрии \[|\Delta\vec r|^2 = l^2 + v_{\text{отн}}^2\,t^2 .\] По условию \(|\Delta\vec r| = 2l\). Тогда \(4l^2 = l^2 + 3v^2t^2\), откуда \(t = \dfrac{l}{v} = 30\) с \(= 0{,}5\) мин.