Задачи › Масса и плотность

Радиан

  1. Радиан

    ВсОШ 2024/25, 7 кл.
    3/10

    Оборудование: три листа картона формата А4, ножницы, весы с точностью не менее \(0{,}1\) г, миллиметровка для построения графика.

    В физике принято измерять углы в радианах. Радиан — это центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу этой окружности. Любовь физиков к радианам не случайна. Многие физические формулы, в которых фигурируют углы, в радианах выглядят гораздо проще.

    К заданию прилагаются шаблоны на двух листах А4. На одном из шаблонов приведены одинаковые круги, на которых показаны центральные углы, равные половине и целому радиану. Также на распечатках присутствуют квадраты. Сторона каждого из этих квадратов в точности равна радиусу окружностей.

    РисунокРисунок

    1. Используя выданные распечатки, картон и весы, снимите зависимость отношения массы \(m\) кругового сектора из картона с углом \(\alpha\) в радианах к массе \(M\) квадрата из картона, имеющего сторону, равную радиусу сектора, от угла \(\alpha\): \(\dfrac{m}{M}(\alpha)\) (не менее 8 точек).

    2. Постройте график этой зависимости.

    3. Зависимость площади сектора от его радиуса \(R\) и угла \(\alpha\), выраженного в радианах, имеет вид \(S_{\text{сектора}} = k\alpha R^2\). Пользуясь графиком, определите коэффициент пропорциональности \(k\).

    4. Экспериментально определите количество радиан в полном круге. Важно! Теоретические выводы не засчитываются!

    5. Выведите формулу перевода радианов в градусы.

    6. К заданию также приложена распечатка с изображением большого сектора, угол и радиус которого неизвестны. Определите угол этого сектора в градусах.

    При выполнении работы можно пользоваться собственными пишущими принадлежностями для нанесения контуров для вырезания на бумаге и картоне. Транспортирами пользоваться запрещено!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Масса фигуры пропорциональна её площади при одинаковой толщине картона, поэтому отношение масс даёт отношение площадей. Сравните полученную прямую с формулой площади сектора.

    Ответ

    3) \(k = 0{,}5\);  4) \(2\pi \approx 6{,}28\) рад в полном круге;  5) \(A = \dfrac{360^\circ}{6{,}28}\,\alpha\);  6) \(\approx 39{,}4^\circ\).

    Решение

    Вырезаем из картона круги и квадраты, взвешиваем по 5 штук и усредняем. Квадрат: \(1{,}86\) г на 5 штук, т. е. \(0{,}372\) г; круг: \(5{,}84\) г на 5 штук, т. е. \(1{,}168\) г; отношение масс круга и квадрата \(\approx 3{,}14\).

    Вырезаем из картона секторы с углами от 1,5 до 7 рад и взвешиваем их (масса сектора и отношение \(M_{\text{сектора}}/M_{\text{квадрата}}\), \(\alpha\) в рад): \(1{,}5\) — \(0{,}28\) г, \(0{,}75\); \(2\) — \(0{,}36\) г, \(0{,}97\); \(2{,}5\) — \(0{,}45\) г, \(1{,}21\); \(3\) — \(0{,}53\) г, \(1{,}42\); \(3{,}5\) — \(0{,}61\) г, \(1{,}64\); \(4\) — \(0{,}76\) г, \(2{,}04\); \(4{,}5\) — \(0{,}84\) г, \(2{,}26\); \(5\) — \(0{,}95\) г, \(2{,}55\); \(5{,}5\) — \(1{,}00\) г, \(2{,}69\); \(6\) — \(1{,}08\) г, \(2{,}90\); \(7\) — \(1{,}28\) г, \(3{,}44\). Для точности взвешивание для одного угла можно повторять на разных секторах и усреднять.

    Пункт 2. График выходит из начала координат (при нулевой массе сектора отношение равно нулю) и линеен:

    Рисунок

    Пункт 3. Теоретически \(\dfrac{M_{\text{сектора}}}{M_{\text{квадрата}}} = \dfrac{\sigma k\alpha R^2}{\sigma R^2} = k\alpha\). По графику \(k = \dfrac{4}{8} = 0{,}5\), так что \(S_{\text{сектора}} = 0{,}5\,\alpha R^2\).

    Пункт 4. С учётом массы круга в полном круге примерно \(6{,}28\) рад, и \(6{,}28\) рад равны \(360^\circ\).

    Пункт 5. Формула перевода радианов в градусы: \(A = \dfrac{360^\circ}{6{,}28}\,\alpha\) (\(A\) — угол в градусах).

    Пункт 6. Вырезаем из круга сектор с углом, в пять раз меньшим угла большого сектора (см. распечатку), делаем из него шаблон и вырезаем по нему сектор из картона; его масса \(0{,}64\) г, масса сектора с нужным углом в 5 раз меньше: \(0{,}128\) г. С учётом \(\alpha = \dfrac{M_{\text{сектора}}}{0{,}5\,M_{\text{квадрата}}}\): \(\beta = 2\cdot\dfrac{0{,}128}{0{,}372} \approx 0{,}69\) рад \(\approx 39{,}4^\circ\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх