Задачи › Масса и плотность

Взвешивание коэффициента

  1. Взвешивание коэффициента

    Максвелл 2024/25, 7 кл.
    5/10

    Как известно, площадь \(S\) квадрата со стороной \(a\) определяется выражением \(S = a^2\), площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) определяется \(S = ab\).

    Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек \(F_1\) и \(F_2\) равна постоянной величине. \(MF_1 + MF_2 = \text{const}\). Точки \(F_1\) и \(F_2\) называются фокусами эллипса (см. рис. 1). Отрезок \(A_1A_2\) называют большой осью эллипса, отрезок \(B_1B_2\) называют малой осью эллипса. Обозначим \(A_1A_2 = A\), \(B_1B_2 = B\).

    Рисунок

    Эллипс легко нарисовать, используя данное определение. Расположите лист картона на столе на мягкой опоре. Отметьте на нём фокусы будущего эллипса. В эти точки вертикально воткните две кнопки (булавки). На них накиньте петлю из нити, длина которой немного больше удвоенного расстояния между этими точками. Натяните нить карандашом (ручкой) и, сохраняя нить натянутой, рисуйте линию (см. рис. 2). Потренируйтесь рисовать эллипсы разных размеров на одной из сторон выданного вам картона.

    Рисунок

    Массы плоских геометрических фигур пропорциональны их площадям. Площадь эллипса можно рассчитать по формуле \(S = \dfrac{1}{4}kAB\). Здесь \(k\) — коэффициент, значение которого Вам предстоит определить.

    Для вырезания фигур используйте ножницы. Будьте аккуратны при работе с ножницами и кнопками (булавками). Проведённые измерения представьте в виде таблиц.

    1. Определите поверхностную плотность (массу единицы площади) \(\rho_S\) картона. Для этого используйте лист картона, на котором вы тренировались рисовать эллипсы. Проведите несколько измерений с прямоугольниками (квадратами) разных размеров. Постройте график зависимости массы прямоугольного (квадратного) листа картона от его площади. Используя график, определите поверхностную плотность картона \(\rho_S\).

    2. Определите коэффициент \(k\) из формулы площади эллипса. Для этого на втором листе картона нарисуйте несколько эллипсов разных размеров, вложенных друг в друга (см. рис. 3). Вам придётся изменять длину нити и расстояние между фокусами. Линии эллипсов не должны пересекаться. Вырезая поочерёдно эллипсы (первым вырезайте самый большой), исследуйте зависимость площади эллипса от произведения длин его осей и определите величину \(k\), используя график исследуемой зависимости.

    Рисунок

    1. Определите толщину \(h\) картонного листа. Получите формулу связи поверхностной и объёмной плотностей и рассчитайте объёмную плотность. Определите объёмную плотность (массу единицы объёма) картона \(\rho_V\). В задании 3 не требуется построение графиков.

    Оборудование: два листа картона формата А5, мягкая основа с двумя канцелярскими силовыми кнопками (или булавками), нить, весы, линейка длиной не менее 20 см, ножницы, два листа миллиметровой бумаги А4 для построения графиков.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(\rho_S \approx 0{,}30\) кг/м\(^2\) (\(0{,}03\) г/см\(^2\));  2) \(k \approx 3{,}1\) (теоретическое значение \(\pi \approx 3{,}14\));  3) \(h \approx 0{,}35\) мм, \(\rho_V \approx 860\) кг/м\(^3\).

    Решение

    Поверхностная плотность. Массы прямоугольников и квадратов связаны с площадью соотношением \(m = \rho_S S\). Вырезали квадраты и прямоугольники, отрезая от квадрата \(10\times 10\) см полоски шириной \(1\) см; измерения (сторона \(a\times b\), см; \(S = ab\), см\(^2\); \(m\), г): \(10\times 10\), \(100\), \(3{,}02\); \(10\times 9\), \(90\), \(2{,}66\); \(9\times 9\), \(81\), \(2{,}45\); \(9\times 8\), \(72\), \(2{,}12\); \(8\times 8\), \(64\), \(1{,}91\); \(8\times 7\), \(56\), \(1{,}72\); \(7\times 7\), \(49\), \(1{,}44\); \(7\times 6\), \(42\), \(1{,}25\); \(6\times 6\), \(36\), \(1{,}10\); \(6\times 5\), \(30\), \(0{,}94\); \(5\times 5\), \(25\), \(0{,}76\); \(5\times 4\), \(20\), \(0{,}62\); \(4\times 4\), \(16\), \(0{,}47\); \(4\times 3\), \(12\), \(0{,}35\); \(3\times 3\), \(9\), \(0{,}26\). По графику \(m(S)\) (рисунок в решении) угловой коэффициент \[\rho_S = \frac{\Delta m}{\Delta S} = \frac{3{,}0 - 0{,}3}{100 - 9}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}03\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}30\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}.\]

    Толщина и объёмная плотность. Толщину листа определяем методом рядов: из остатков картона складываем стопку, прижимаем и измеряем высоту, \(h = 0{,}35\) мм. Связь плотностей: \(\rho_S = \rho_V h\), откуда \[\rho_V = \frac{\rho_S}{h} = \frac{0{,}03}{0{,}035}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \approx 0{,}86\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 860\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\]

    Коэффициент \(k\). Для эллипсов, вложенных друг в друга, измеряем большую и малую оси \(A\), \(B\) и массу \(m\) (вырезанный эллипс), данные: \(AB/4\), см\(^2\); \(m\), г: \(54{,}5\); \(5{,}12\); \(42{,}5\); \(4{,}11\); \(31{,}8\); \(3{,}00\); \(20{,}3\); \(1{,}91\); \(16{,}4\); \(1{,}49\); \(12{,}1\); \(1{,}13\); \(9{,}1\); \(0{,}84\); \(5{,}2\); \(0{,}49\). Масса \(m = \rho_S S = \rho_S\dfrac{k}{4}AB = C\cdot\dfrac{AB}{4}\), где \(C = \rho_S k\). Угловой коэффициент графика \(m\left(\dfrac{AB}{4}\right)\) (рисунок в решении): \[C = \frac{\Delta m}{\Delta(AB/4)} = \frac{5{,}1 - 0{,}5}{55 - 5}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}092\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}92\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}.\] Отсюда \(k = \dfrac{C}{\rho_S} = \dfrac{0{,}092}{0{,}03} \approx 3{,}1\), что близко к теоретическому значению \(\pi = 3{,}14\ldots\)

    Рисунок
    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх