Полусфера с зарядом

Подсказка

Дополните данную полусферу такой же полусферой так, чтобы получилась полная сфера, и используйте принцип суперпозиции. Как потенциал однородно заряженной сферы меняется с расстоянием до её центра вне сферы?

Решение

Обозначим исходную полусферу индексом \(I\) и дополним её такой же полусферой \(II\). По принципу суперпозиции \(\varphi_\Sigma = \varphi_I + \varphi_{II}\). Тогда потенциалы точек \(O\), \(C\), \(D\) в поле полной сферы:

1. \(\varphi_{O\Sigma} = \varphi_{OI} + \varphi_{OII} = 100 + 100 = 200\) В;

2. \(\varphi_{C\Sigma} = \varphi_{O\Sigma} = 200\) В (потенциал всех точек полной сферы одинаков);

3. поскольку потенциал поля сферы \(\varphi \sim \dfrac{1}{r}\), то \(\varphi_{D\Sigma} = \dfrac{1}{2}\varphi_{C\Sigma} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(2R)\);

4. поскольку \(\varphi_{D\Sigma} = \varphi_{DI} + \varphi_{DII} = \varphi_{A\Sigma} = \varphi_{AI} + \varphi_{AII} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(-2R)\), то \(\varphi_{AII} = \varphi_{A\Sigma} - \varphi_{AI} = 100 - 38{,}2 = 61{,}8\) В;

5. положение точки \(A\) в поле полусферы \(II\) эквивалентно положению точки \(D\) в поле полусферы \(I\), поэтому \(\varphi_{DI} = \varphi_{AII} = 61{,}8\) В.

Ответ: потенциал в точке на оси \(OX\) с координатой \(x = 2R\) равен \(61{,}8\) В.