Задачи › Массивный канат, распределённая нагрузка

Упругая лента

  1. Упругая лента

    ВсОШ 2019/20, 11 кл.
    6/10

    Изгиб подвешенной за концы резиновой ленты определяется равновесием упругих сил и сил тяжести. Для однородно растянутой ленты её натяжение \(T = ES\,\Delta L/L\), где \(E\) — модуль Юнга, \(S\) и \(L\) — площадь сечения и длина ленты в нерастянутом виде, \(\Delta L\) — её удлинение. Закрепим концы ленты на одной горизонтали на расстоянии, равном её длине \(L\) в нерастянутом виде (рис. 1). Провисшая под собственным весом лента образует с горизонталью некоторый угол \(\varphi\), а середина ленты ниже этой горизонтали на некоторое расстояние \(h\), называемое стрелой прогиба.

    Рисунок

    1. При помощи предложенного оборудования измерьте стрелы прогиба \(h\) не менее чем для 10 значений длины ленты в ненатянутом виде \(L\) в диапазоне от 30 до 120 см. Результаты представьте в виде таблицы и графика \(h(L)\).

    2. Используя полученные вами в п. 1 экспериментальные результаты, считая, что \(h = A L^n\), при использовании графической обработки определите значение \(n\) (\(n\) — не обязательно целое число). Сравните полученный результат с теоретической моделью в п. 1. Оцените погрешность определения \(n\).

    3. При \(\varphi \ll 1\) или \(h \ll L\) ленту можно считать почти однородно растянутой по дуге окружности. Выведите в этом приближении теоретическое выражение для зависимости \(h\) от \(L\), считая заданными плотность резины \(\rho\), модуль Юнга \(E\), ускорение свободного падения \(g\). В пределе малых углов можно использовать приближения \[\sin\varphi \approx \varphi - \frac{\varphi^3}{6}; \qquad \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}; \qquad \operatorname{tg}\varphi \approx \varphi + \frac{\varphi^3}{3}.\] Сравните полученную формулу с результатом, полученным в п. 2.

    4. Используя теоретическую зависимость, выведенную в п. 3, и результаты, полученные в п. 1, определите значение модуля Юнга \(E\). Плотность резины \(\rho = 1{,}25\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Оцените погрешность определения \(E\).

    Оборудование: дюралевый уголок длиной 150 см; два бруска 15\(\times\)10\(\times\)3 см как опоры; тонкая резиновая лента длиной 140 см и шириной 2–3 см (отрезать от резинового медицинского бинта); два зажима для фиксации ленты на уголке (из гвоздя и кольцевой «денежной» резинки, или короткая деревянная линейка и канцелярская клипса); мерная лента; миллиметровая бумага для построения графиков; скотч.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите натяжение ленты через её вес и угол \(\varphi\) в нижней точке, затем используйте малость угла, чтобы связать \(\varphi\) с \(h\) и \(L\). Для степенной зависимости удобно строить график в логарифмических координатах.

    Решение

    1. Длиной ленты считается длина участка между зажимами. Мерной лентой размечаем уголок и резиновую ленту, фиксируем ленту зажимами и поворачиваем уголок так, чтобы лента могла свободно провисать. К вертикальной стенке уголка скотчем прикрепляем миллиметровую бумагу и для набора значений \(L\) измеряем стрелу прогиба \(h\). Результаты заносим в таблицу с дополнительными столбцами для обработки.

    2. Строим график зависимости \(\ln h(\ln L)\). По угловому коэффициенту определяем \(n\). С учётом разброса экспериментальных данных по этому же графику оцениваем погрешность \(n\).

    3. При \(\varphi \ll 1\) или \(h \ll L\) лента имеет постоянную линейную плотность и растянута по дуге окружности радиуса \(R\). Горизонтальная проекция натяжения неизменна: \(T\cos\varphi = T_0\), где \(T_0\) — натяжение в нижней точке. Отсюда при малом \(\varphi\) получаем \(T \approx T_0\). Из равновесия по вертикали \(2T\sin\varphi = \rho g L S\), откуда \[T \approx \frac{\rho g L S}{2\varphi}.\] Относительное удлинение \[\frac{\Delta L}{L} = \frac{2R(\varphi - \sin\varphi)}{2R\sin\varphi} \approx \frac{\varphi^2}{6}.\] Подставляя в \(T = ES\,\Delta L/L\), находим \[E = \frac{3\rho g L}{\varphi^3}.\] Поскольку \(h = R(1 - \cos\varphi)\), а \(L = 2R\sin\varphi\), то \(\varphi \approx 4h/L\), и \[h = \left(\frac{3\rho g L^4}{64E}\right)^{1/3}.\] Это соответствует \(n = 4/3 \approx 1{,}33\) в п. 2 и сравнивается с результатом графической обработки.

    4. Для определения модуля Юнга строим график зависимости \(h\) от \(L^{4/3}\): его наклон \(k = \left(\dfrac{3\rho g}{64E}\right)^{1/3}\) даёт \(E = \dfrac{3\rho g}{64\,k^3}\). Другая возможность — вычислить \(E\) по полученной формуле для каждого \(L\) с последующим усреднением.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх