Задачи › Блоки и полиспасты

Задача про блоки

  1. Задача про блоки

    СПбГУ 2024/25, 8 кл.
    5/10

    Вариант 1.1. С помощью системы блоков (см. рис.) удерживается в покое неоднородная балка массой \(M = \dfrac{77m}{9}\), при том что к крайнему блоку подвешен груз массой \(\dfrac{8m}{3}\). Каждый блок, независимо от его размеров, имеет массу \(m = 0{,}1\) кг, радиус левых блоков указан на рисунке, \(R = 0{,}1\) м. Нити невесомые, трение в осях блоков отсутствует. Два левых блока надеты на одну ось и скреплены между собой. Нити по блокам не проскальзывают.

    Рисунок

    1. Чему должна быть равна величина силы \(F\), чтобы система находилась в покое?

    2. Где должен находиться центр масс балки \(M\) относительно её левого края, чтобы балка оставалась в горизонтальном положении, если длина всей балки равна \(5R\)?

    Вариант 1.2. С помощью системы блоков (см. рис.) удерживается в покое неоднородная балка массой \(M = \dfrac{77m}{9}\), при том что к крайнему блоку подвешен груз массой \(\dfrac{8m}{3}\). Каждый блок, независимо от его размеров, имеет массу \(m = 0{,}3\) кг, радиус левых блоков указан на рисунке, \(R = 0{,}2\) м. Нити невесомые, трение в осях блоков отсутствует. Два левых блока надеты на одну ось и скреплены между собой. Нити по блокам не проскальзывают.

    Рисунок

    1. Чему должна быть равна величина силы \(F\), чтобы система находилась в покое?

    2. Где должен находиться центр масс балки \(M\) относительно её левого края, чтобы балка оставалась в горизонтальном положении, если длина всей балки равна \(10R\)?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите второй закон Ньютона для каждого блока и груза (блоки с общей осью связаны нитями без проскальзывания) и правило моментов для блока, к которому приложена сила \(F\). Затем примените правило моментов к балке.

    Ответ

    вариант 1.1: 1) \(F = \dfrac{11mg}{6} \approx 1{,}83\) Н;  2) \(L_0 \approx 0{,}0896\) м;  вариант 1.2: 1) \(F = \dfrac{11mg}{6} = 5{,}5\) Н;  2) \(L_0 \approx 0{,}1792\) м.

    Решение

    Силы натяжения: \(T_1, T_3, T_4, T_5\) и \(T_0\) (на левом краю балки); для блоков справа и грузов записываем \(2F = mg + T_1\), \(2T_1 = mg + T_4\), \(2T_4 = mg + T_3\), \(2T_5 = mg + T_4\), \(T_5 = \dfrac{8mg}{3}\), а для балки \(T_0 + T_3 = Mg\). Правило моментов для блока \(1\) даёт \(T_1 = 3T_0\).

    Отсюда \(T_4 = \dfrac{13mg}{3}\), \(T_3 = \dfrac{23mg}{3}\), \(T_1 = 3Mg - 23mg\), и \[2F = 3Mg - 22mg = \frac{11mg}{3} \quad\Rightarrow\quad F = \frac{11mg}{6}.\] Вариант 1.1: \(F = 1{,}83\) Н; вариант 1.2: \(F = 5{,}5\) Н.

    Положение центра масс находим из правила моментов относительно центра масс: \(T_0 L_0 = T_3(5R - L_0)\) (для варианта 1.2 вместо \(5R\) — \(10R\)), откуда \(L_0 = \dfrac{5R\,T_3}{T_0+T_3} = \dfrac{23Rm}{3M}\). Вариант 1.1: \(L_0 \approx 0{,}0896\) м; вариант 1.2: \(L_0 \approx 0{,}1792\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх