Спортсмен с допингом

Сколько метров спортсмен пробежит за первые 10 секунд, если каждую следующую секунду его скорость возрастает на одну и ту же величину?

Конкуренты нечестного спортсмена пробегут стометровку за время \[t = \frac{l}{v} = 10~\text{с}.\] Найдём, за какое время пробежит стометровку нечестный спортсмен. Поскольку в течение первой секунды он бежит со скоростью \(\Delta v\), в течение второй секунды — со скоростью \(2\Delta v\), третьей — \(3\Delta v\) и т.д., за 10 секунд он пробежит расстояние \[S = \Delta v\,\Delta t + 2\Delta v\,\Delta t + \dots + 10\Delta v\,\Delta t = 55\,\Delta v\,\Delta t = 99~\text{м},\] где \(\Delta t = 1\) с. Таким образом, нечестный спортсмен за 10 секунд пробежит 99 м, а последний метр дистанции он пробежит со скоростью \(11\Delta v\) и, следовательно, затратит на его прохождение время \[t_1 = \frac{1~\text{м}}{11\Delta v} = 0{,}05~\text{с}.\] Значит, нечестный спортсмен отстанет от своих конкурентов на время \(t_1 = 0{,}05\) с.