Задачи › Связанные колебания, биения

Шайба на трёх резинках

  1. Шайба на трёх резинках

    «Покори Воробьёвы горы!» 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Вопрос: Материальная точка массы \(m\) может двигаться в плоскости \(xy\) в поле сил с потенциальной энергией \(U(x,y)=k\cdot(4x^2+y^2)/2\). Каковы возможные частоты её линейных (происходящих вдоль одной прямой) гармонических колебаний около положения равновесия?

    Задача: На гладкой горизонтальной поверхности неподвижно закреплено кольцо, к трём точкам которого прикреплены концы трёх упругих резинок, вторые концы которых прикреплены к одной небольшой шайбе с массой \(m = 250\) г. Длина всех трёх резинок в ненапряжённом состоянии одинакова и в точности равна радиусу кольца. В положении равновесия шайбы две резинки — с одинаковыми коэффициентами жёсткости \(k = 1\) Н/м — взаимно перпендикулярны (см. рисунок), а третья — с \(k' = 8\) Н/м — ориентирована вдоль биссектрисы угла между ними. Шайбу отвели на расстояние \(s = 1{,}2\) см от этого положения и отпустили без начальной скорости. Оказалось, что шайба поехала по прямой и вернулась в положение равновесия за время \(t\). Найти все возможные значения \(t\) и скорости шайбы в этот момент времени. Отметим, что \(s\) намного меньше радиуса кольца.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Найдите деформации резинок при малом смещении шайбы вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Какие из них дают движение по прямой через положение равновесия? Время до положения равновесия — четверть периода колебаний.

    Ответ

    Вопрос: \(\omega_1 = 2\sqrt{k/m}\), \(\omega_2 = \sqrt{k/m}\);  Задача: 1) \(t \approx 0{,}785\) с и \(t \approx 0{,}262\) с (вариант 1), либо \(0{,}785\) с, \(0{,}278\) с и \(1{,}147\) с (вариант 2);  2) \(v \approx 0{,}024\) м/с и \(0{,}072\) м/с (вариант 1), либо \(0{,}024\) м/с, \(0{,}068\) м/с и \(0{,}016\) м/с (вариант 2).

    Решение

    Официальное решение рассматривает два варианта трактовки резинок; оба засчитываются.

    Вариант 1 (резинки работают и на растяжение, и на сжатие). Оси \(x\) и \(y\) — как на рисунке (ось \(y\) направлена вдоль резинки \(k'\)). Деформации резинок при малых отклонениях: \(\Delta l_1 \approx -\dfrac{x+y}{\sqrt2}\), \(\Delta l_2 \approx y\), \(\Delta l_3 \approx \dfrac{x-y}{\sqrt2}\), энергия \(U \approx \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{(k+k')y^2}{2}\). Движение вдоль осей прямолинейное и гармоническое; время до положения равновесия — четверть периода: \(t_1 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}} \approx 0{,}785\) с, \(t_2 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k+k'}} \approx 0{,}262\) с. Скорость в положении равновесия \(v = \omega s\): \(v_1 = s\sqrt{k/m} \approx 0{,}024\) м/с, \(v_2 = s\sqrt{(k+k')/m} \approx 0{,}072\) м/с.

    Рисунок

    Вариант 2 (резинка провисает при сжатии). При отклонении вдоль резинки \(k\) движение по прямой с жёсткостью \(k\): \(t_1 \approx 0{,}785\) с, \(v_1 \approx 0{,}024\) м/с; вдоль резинки \(k'\): \(t_2 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k'}} \approx 0{,}278\) с, \(v_2 \approx 0{,}068\) м/с. В остальных секторах работают две резинки, и по направлению, которое проходит через положение равновесия, эффективная жёсткость \(\tilde k = \dfrac{k+k'-\sqrt{k^2+k'^2}}{2}\); отсюда \(t_3 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{k+k'-\sqrt{k^2+k'^2}}} \approx 1{,}147\) с, \(v_3 \approx 0{,}016\) м/с.

    Рисунок

    Ответ на вопрос (отдельно, с другой энергией из условия вопроса): \(U = k(4x^2+y^2)/2\) даёт \(\omega_x = 2\sqrt{k/m}\) и \(\omega_y = \sqrt{k/m}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх