Поршень с гирькой

Для адиабатического процесса \(\delta Q = 0\): выразите изменение давления через изменение объёма. При подъёме поршня обратите внимание на его колебания около положения равновесия.

Вопрос. Так как изменение давления мало, работу можно вычислять в линейном приближении: \(\delta A' \approx -p\,\Delta V\). Для адиабатического процесса \(\delta Q = 0 = p\,\Delta V + \dfrac{5}{2}\Delta(pV)\), откуда \(\delta A' \approx \dfrac{5}{7}\,pV\,\dfrac{\Delta p}{p} = \dfrac{5}{7}\,\nu R T\,\dfrac{\Delta p}{p} \approx 12{,}5\) Дж.

Задача. Пусть \(S\) — сечение цилиндра, \(M\) — масса поршня, \(m\) — масса гирьки, \(p_A\) — атмосферное давление, \(p_0 = p_A + Mg/S\). При опускании поршня от \(h_0\) до \(h_1 = x h_0\) изменение внутренней энергии газа (двухатомного, \(\gamma = 7/5\)) определяется работой внешних сил и силы тяжести; с учётом адиабаты \(p_1 = p_0 x^{-7/5}\) получается \(x^{-2/5} - 1 = \dfrac{2}{5}(1+\delta)(1-x)\), где \(\delta = \dfrac{mg}{p_0 S}\). Так как \(1 - x = 1/30 \ll 1\), с ошибкой порядка \((1/30)^3\) можно считать \(\delta \approx \dfrac{7}{10}(1-x) = \dfrac{7}{300}\).

Аналогичное уравнение записывается для подъёма от \(h_1\) до \(h_2 = z h_0\); при \(z - 1 \equiv \varepsilon \ll 1\) оно даёт \(\varepsilon \approx 1 - x = \dfrac{1}{30}\). Итог: \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.

Идейный вариант: поршень при малых смещениях колеблется почти гармонически около положения равновесия, поэтому после снятия гирьки он поднимается над равновесием на то же расстояние, на которое опустился под него. Отсюда \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.