Задачи › ЭДС движения: рельсы, перемычки, рамки

Рельсотрон

  1. Рельсотрон

    «Покори Воробьёвы горы!» 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Вопрос: Проводящий стержень длины \(L\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) в однородном магнитном поле с индукцией \(B\) вокруг оси, параллельной полю, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Чему равна разность потенциалов на концах стержня?

    Задача: В установке «рельсотрон» в качестве «снаряда» используется металлическая перемычка, которая может скользить, двигаясь поступательно, по двум очень длинным гладким горизонтальным параллельным рельсам. Сначала перемычку удерживают вблизи одной пары их концов, к которым подключают источник постоянного напряжения. В области пространства, в которой проходят рельсы, включают вертикальное постоянное однородное магнитное поле, и перемычку аккуратно освобождают. В первой серии опытов рельсы поддерживались в сверхпроводящем состоянии, а суммарное сопротивление контура, по которому протекал ток (состоящее из сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов), было примерно постоянно и равно \(R_0 \approx 0{,}8\) Ом. При этом оказалось, что перемычка разгоняется до 95 % от максимально возможной (для этой установки), пройдя путь \(s_0 = 80\) м. Во второй серии опытов сверхпроводящие рельсы заменили на рельсы с «погонным» сопротивлением \(\rho = 5\) мОм/м. Какой путь теперь потребуется перемычке для достижения той же скорости? Считайте, что сила сопротивления воздуха отсутствует, сумма сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов не изменилась, длина начального участка рельсов (от края до линии старта перемычки) пренебрежимо мала по сравнению с \(s_0\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) разность потенциалов на концах стержня равна нулю;  2) \(s \approx 137{,}5\) м.

    Решение

    Вопрос. Движение стержня медленное по сравнению с перемещением носителей заряда при установлении равновесия, поэтому в установившемся режиме сила Лоренца на носитель уравновешивается силой электрического поля разделения: \(vB = \omega r B = E\). Распределение заряда при этом симметрично относительно оси вращения, поэтому потенциалы концов стержня равны, и их разность равна нулю.

    Задача. Источник создаёт в контуре ток, на который действует сила Ампера, разгоняющая перемычку. При движении перемычки в контуре возникает ЭДС индукции \(\mathcal E_i = vBD\) с полярностью, противоположной ЭДС источника. В сверхпроводящих рельсах полное сопротивление равно \(R_0\), а при рельсах с сопротивлением \(R(x) = R_0 + 2\rho x\), где \(x\) — координата перемычки от начального положения. Поэтому \(I = \dfrac{\mathcal E - vBD}{R_0 + 2\rho x}\). Ток обращается в ноль при \(v = \bar v = \dfrac{\mathcal E}{BD}\) — это максимально возможная скорость. Уравнение движения \(m\,\dfrac{dv}{dt} = BDI\) с \(f = v/\bar v\) даёт \(\dfrac{dx}{1 + 2\rho x/R_0} = \dfrac{m R_0 \mathcal E}{B^3 D^3}\,\dfrac{f}{1-f}\,df\).

    Для сверхпроводящих рельсов (\(\rho = 0\)): \(s_0 = \dfrac{m R_0\mathcal E}{B^3 D^3}\displaystyle\int_0^{0{,}95}\dfrac{f}{1-f}\,df\). Для рельсов с сопротивлением левая часть интегрируется элементарно: \(\displaystyle\int_0^{s}\dfrac{dx}{1+2\rho x/R_0} = \dfrac{R_0}{2\rho}\ln\left(1 + \dfrac{2\rho s}{R_0}\right)\). Приравнивая те же правые части, получаем \(s = \dfrac{R_0}{2\rho}\left[e^{2\rho s_0/R_0} - 1\right] = (e-1)\dfrac{R_0}{2\rho} \approx 137{,}5\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх