\(\nu\) молей идеального газа участвуют в процессе, в ходе которого совершённая газом работа зависит от его текущего объёма \(V\) следующим образом: \[A(V) = \nu RT_0\left[\frac{V-V_1}{V_1} + \frac{V_1^2-V^2}{V_2^2}\right],\] где параметры \(T_0\), \(V_1\) и \(V_2\) известны. При этом объём газа монотонно возрастает от \(V_1\) до \(V_2\). Найдите максимальную температуру газа в таком процессе.

Условие имеет смысл при \(V_2 > 2V_1\). При \(2V_1 < V_2 \le 4V_1\) максимальная температура \(T_\text{max} = T_0\dfrac{V_2^2}{8V_1^2}\); при \(V_2 > 4V_1\) — \(T_\text{max} = T_0\left(\dfrac{V_2}{V_1}-2\right)\).

Максимальная температура газа — Санкт-Петербургская 2021/22, 11 кл., задача 1

Максимальная температура газа
Санкт-Петербургская 2021/22, 11 кл.
5/10
\(\nu\) молей идеального газа участвуют в процессе, в ходе которого совершённая газом работа зависит от его текущего объёма \(V\) следующим образом: \[A(V) = \nu RT_0\left[\frac{V-V_1}{V_1} + \frac{V_1^2-V^2}{V_2^2}\right],\] где параметры \(T_0\), \(V_1\) и \(V_2\) известны. При этом объём газа монотонно возрастает от \(V_1\) до \(V_2\). Найдите максимальную температуру газа в таком процессе.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Давление равно производной работы по объёму: \(P = dA/dV\). Затем воспользуйтесь уравнением состояния \(PV = \nu RT\) и найдите максимум полученной квадратичной зависимости \(T(V)\).
Ответ
Условие имеет смысл при \(V_2 > 2V_1\). При \(2V_1 < V_2 \le 4V_1\) максимальная температура \(T_\text{max} = T_0\dfrac{V_2^2}{8V_1^2}\); при \(V_2 > 4V_1\) — \(T_\text{max} = T_0\left(\dfrac{V_2}{V_1}-2\right)\).
Решение
Давление \(P = \dfrac{dA}{dV} = \nu RT_0\left(\dfrac{1}{V_1} - \dfrac{2V}{V_2^2}\right)\). Положительность давления на интервале \((V_1, V_2)\) требует \(V_2 > 2V_1\) — это совпадает с условием положительности работы.

Из уравнения состояния \(T(V) = \dfrac{PV}{\nu R} = T_0\left(\dfrac{V}{V_1} - \dfrac{2V^2}{V_2^2}\right)\). Это парабола с ветвями вниз, максимум при \(V_\text{extr} = \dfrac{V_2^2}{4V_1}\) со значением \(T_\text{max} = T_0\dfrac{V_2^2}{8V_1^2}\).

Максимум лежит в интервале \((V_1, V_2)\), если \(V_2 \le 4V_1\) (первое неравенство выполнено при \(V_2>2V_1\)). Если \(V_2 > 4V_1\), вершина правее \(V_2\), и максимум достигается на правом конце: \(T(V_2) = T_0\left(\dfrac{V_2}{V_1}-2\right)\).
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Максимальная температура газа

Максимальная температура газа

Похожие задачи