Шайбы и движущаяся доска

Пусть \(L\) — расстояние между \(AB\) и \(CC_1\) в момент удара второй шайбы о доску, а \(t_1\) — время движения второй шайбы до удара о доску (см. рисунок).

\[L = (v_2\sin\alpha)t_1.\qquad (1)\] При упругом ударе о неподвижную массивную стенку скорость шайбы \(v_\perp\) меняет направление на противоположное, оставаясь неизменной по модулю. Перейдём в систему координат, связанную с движущейся доской. При этом \(v'_\perp = v_2\sin\alpha + u\). После удара скорость шайбы направлена от стенки и в неподвижной системе координат равна \(v_2\sin\alpha + 2u\). Таким образом, \[L = (v_2\sin\alpha + 2u)t_2,\qquad (2)\] где \(t_2\) — время движения второй шайбы после отскока от доски до соударения с первой шайбой, причём \(\dfrac{t_1 + t_2}{t_1} = n\).

Из (1) и (2) находим \[v_2 = 2u\,\dfrac{(n - 1)}{(2 - n)\sin\alpha}.\] Проекции скоростей шайб на направление \(CC_1\) одинаковы, поэтому \[v_1 = v_2\cos\alpha,\] \[v_1 = 2u\,\dfrac{(n - 1)\cos\alpha}{(2 - n)\sin\alpha}.\]