Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Нелинейная резинка

  1. Нелинейная резинка

    Санкт-Петербургская 2018/19, 10 кл.
    5/10

    Растяжение стержней описывается обобщённым законом Гука \(\sigma=E\varepsilon\), где \(\sigma=F/S\) — механическое напряжение, \(\varepsilon=\Delta l/l\) — относительное удлинение, \(E\) — модуль Юнга. При растяжении тела наряду с изменениями продольных размеров происходит также изменение его поперечных размеров, которые характеризуются коэффициентом Пуассона. Коэффициент Пуассона \(\nu\) представляет собой отношение относительного уменьшения поперечных размеров тела к относительному увеличению его продольных размеров: \(\nu=-\dfrac{\Delta d/d}{\Delta l/l}\).

    Задание.

    1. Исследуйте зависимость продольного растяжения резинки \(x\) от приложенной к ней силы \(F\).

    2. Зависимость силы от смещения имеет вид \(F(x)=ax^b\). Определите параметры \(a\) и \(b\) этой зависимости.

    3. Определите модуль Юнга и коэффициент Пуассона резинки.

    Оборудование: резинка, груз 150–200 г, электронные весы, канцелярский зажим, линейка, микрометр по требованию, миллиметровая бумага, пластиковый стакан, вода, нитки и ножницы по требованию.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для модуля Юнга берите малые удлинения, где поправка из-за коэффициента Пуассона мала. Коэффициент Пуассона можно найти по линеаризации зависимости силы от удлинения.

    Ответ

    Для тестового эксперимента (по официальному решению): \(a=0{,}239\) Н/см\(^{b}\), \(b=0{,}611\); модуль Юнга \(E=1{,}55\cdot10^6\) Па и \(E=1{,}32\cdot10^6\) Па (по разным парам точек); коэффициент Пуассона \(\nu=0{,}426\) по линеаризованной зависимости и \(\nu=0{,}52\pm0{,}03\) по гидростатическому взвешиванию.

    Решение

    Измерения удобно проводить с использованием электронных весов: груз подвешивается к резинке, сила равна весу груза, удлинение измеряется линейкой.

    Из определения коэффициента Пуассона изменение толщины резинки при удлинении \(\Delta d=-\dfrac{\nu d_0\Delta l}{l_0}\). Для квадратного сечения площадь \(S=d_0^2\bigl(1-\nu\Delta l/l_0\bigr)^2\), и \[F=Ed_0^2\,\frac{\Delta l}{l_0}\Bigl(1-\nu\frac{\Delta l}{l_0}\Bigr)^2.\] Для малых \(\Delta l\) модуль Юнга \(E=\dfrac{F_0\,l_0}{\Delta l\,d_0^2}\). Теоретические кривые с \(E_{12}=1{,}55\cdot10^6\) Па (по первой и второй точкам) и \(E_{13}=1{,}32\cdot10^6\) Па (по первой и третьей точкам) близки к табличному значению \(E\approx1{,}5\cdot10^6\) Па.

    Для коэффициента Пуассона уравнение приводится к виду \[\sqrt{\frac{Fl_0}{Ed_0^2\Delta l}}=1-\nu\frac{\Delta l}{l_0}.\] По угловому коэффициенту линеаризованной зависимости получаем \(\nu=0{,}426\). Проверка гидростатическим взвешиванием: объём \(V=V_0(1+\varepsilon)(1-\nu\varepsilon)^2\), откуда \(\nu=\dfrac{1}{\varepsilon}\Bigl(1-\sqrt{\dfrac{V}{V_0(1-\varepsilon)}}\Bigr)\). При \(\varepsilon=0{,}35\) получено \(\nu=0{,}52\pm0{,}03\); справочное значение \(\nu=0{,}5\) попадает в интервал этого результата.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх