Падение шарика

Коэффициент \(k\) можно найти по высотам подскоков шарика, а можно по времени между ударами: скорость после каждого отскока уменьшается в \(k\) раз, и шарик падает и подскакивает, пока не остановится.

1. Найдём коэффициент восстановления \(k\).

Первый способ. Положим доску горизонтально, а рядом вертикально установим линейку. Отметим высоту \(h_1\) порядка \(30\) см, с которой будем бросать шарик. Замечаем, на какую высоту \(h_2\) подскочил шарик. Устанавливаем на эту высоту лапку и бросаем ещё раз, изменяем положение лапки, если шарик поднялся чуть выше или оказался ниже. Снова бросаем шарик. Повторяем, пока не убедимся, что шарик подскакивает именно на эту высоту. Измеряем высоту \(h_2\): \[mgh_1 = \frac{mv_1^2}{2}, \qquad mgh_2 = \frac{mv_2^2}{2}, \qquad \text{откуда} \qquad k = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} .\]

Второй способ. Отпустим шарик с высоты \(h\) и секундомером измерим время \(t\) до полной остановки шарика (прекращение звука ударов). Время первого падения шарика \(t_0 = \sqrt{2h/g}\); после удара энергия шарика уменьшится в \(k^2\) раз, и шарик поднимется до высоты \(k^2h\). На это уйдёт время \(k\sqrt{2h/g}\), столько же времени уйдёт на падение, то есть \(t_1 = 2k\sqrt{2h/g}\), \(t_2 = 2k^2\sqrt{2h/g}\) и так далее. Таким образом, времена между ударами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(k\). Полное время до остановки: \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\,\frac{1+k}{1-k}, \qquad \text{откуда} \qquad k = \frac{t\sqrt{g/2h} - 1}{t\sqrt{g/2h} + 1} .\] Оба способа дают одинаковое (в пределах погрешностей) значение для \(k\), лежащее в диапазоне \(0{,}8\)–\(0{,}9\).

2. Выведем зависимость \(L\) от \(h\). Шарик падает на плоскость под углом \(\alpha\) к нормали со скоростью \[v_0 = \sqrt{2gH} . \qquad (1)\] Проекция скорости после отскока на перпендикуляр к плоскости равна \(kv_0\cos\alpha\), а на плоскость — \(nv_0\sin\alpha = nv_0\dfrac{h}{l}\), где \(l\) — длина доски. Второй удар о плоскость произойдёт через время \(t_{\text{н}}\): \[t_{\text{н}} = \frac{2kv_0\cos\alpha}{g\cos\alpha} = \frac{2kv_0}{g} .\] Найдём \(L\): \[L = (nv_0\sin\alpha)\,t_{\text{н}} + \frac{g\,t_{\text{н}}^2\sin\alpha}{2} = \left(\frac{2knv_0^2}{g} + \frac{2k^2v_0^2}{g}\right)\sin\alpha .\] Подставляя \(v_0\) из (1), получим: \[L = 4Hk(n+k)\sin\alpha = 4Hk(n+k)\,\frac{h}{l} .\] Снимаем зависимость \(L\) от \(h\). При каждом измерении делаем \(5\)–\(8\) бросков, чтобы исключить ошибку. Полученные точки заносим в таблицу и строим график. График — прямая линия.

3. По графику находим коэффициент наклона \(c = L/\sin\alpha\): \[c = 4Hk(n+k), \qquad \text{откуда} \qquad n = \frac{c}{4Hk} - k .\] В наших экспериментах \(n\) лежит в диапазоне \(0{,}50\)–\(0{,}65\).