Шарик в желобе кубика

Горизонтальный импульс системы равен нулю и сохраняется, а трения нет, так что сохраняется и полная механическая энергия. Подумайте, какое направление имеет скорость шарика в точке вылета.

Обозначим длину ребра кубика через \(a\). Шарик стартует из центра верхней грани на высоте \(a\), а вылетает из центра правой грани на высоте \(a/2\). Потеря потенциальной энергии шарика: \[\Delta U = mg\left(a - \dfrac{a}{2}\right) = \dfrac{mga}{2} .\] Желоб гладкий, поэтому скорость шарика в каждый момент направлена по касательной к желобу. В точке выхода касательная горизонтальна (перпендикулярна правой грани), поэтому в момент вылета скорость шарика направлена горизонтально вправо.

Внешних горизонтальных сил на систему «кубик + шарик» нет, значит горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Пусть сразу после вылета шарик имеет скорость \(v\) вправо, а кубик — скорость \(V\) влево. При нулевом начальном импульсе: \[mv - MV = 0 \quad\Longrightarrow\quad V = \dfrac{m}{M}\,v .\] Трения нет, опора гладкая и работы не совершает, поэтому закон сохранения энергии: \[\dfrac{mga}{2} = \dfrac{MV^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} .\] Подставляя \(V = \dfrac{m}{M}v\): \[\dfrac{mga}{2} = \dfrac{M}{2}\left(\dfrac{m}{M}v\right)^2 + \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2}\left(1 + \dfrac{m}{M}\right) .\] Сокращая на \(\dfrac{m}{2}\), получаем \(ga = v^2\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)\), откуда \(v^2 = ga\,\dfrac{M}{M + m}\).

Скорость кубика: \[V = \dfrac{m}{M}\,v = \dfrac{m}{M}\sqrt{ga\,\dfrac{M}{M+m}} = \dfrac{k}{\sqrt{1 + k}}\sqrt{ga} .\] Подставляя данные, \(ga = 10\cdot 0{,}081 = 0{,}81\text{ м}^2/\text{с}^2\), \(\sqrt{ga} = 0{,}9\text{ м/с}\): \[V = \dfrac{1{,}25}{\sqrt{1 + 1{,}25}}\cdot 0{,}9 = 0{,}75\text{ м/с} .\]