Колесо в колесе

Удобно перейти в систему отсчёта, движущуюся поступательно вместе с точкой контакта колёс. В ней точка контакта малого колеса неподвижна. Скорость точки \(A\) затем складывается из скорости точки контакта и скорости в этой системе.

Перейдём в систему отсчёта, поступательно движущуюся вместе с точкой контакта \(P\) двух колёс. В такой системе \(\vec v'_P = 0\), а условие отсутствия проскальзывания превращается в то, что точка \(P\) на малом колесе тоже имеет нулевую скорость.

Найдём скорость точки \(P\) в лабораторной системе. Пусть \(\omega_1 > 0\) соответствует вращению против часовой стрелки, ось \(Ox\) направлена вправо, ось \(Oy\) — вверх. При качении большого колеса без проскальзывания скорость его центра по модулю равна \(\omega_1 R\); при вращении против часовой стрелки центр движется влево: \(\vec v_O = (-\omega_1 R,\ 0)\). Точка \(P\) расположена на ободе слева, \(\overrightarrow{OP} = (-R,\ 0)\), и её скорость относительно центра \(\omega_1\hat z\times\overrightarrow{OP} = (0,\ -\omega_1 R)\). Следовательно, \[\vec v_P = (-\omega_1 R,\ -\omega_1 R), \qquad |\vec v_P| = \omega_1 R\sqrt{2} .\] Найдём скорость точки \(A\) в системе, связанной с \(P\). Переходя в систему, движущуюся поступательно со скоростью \(\vec v_P\), получаем, что в ней малое колесо мгновенно вращается вокруг своего центра \(C\) с угловой скоростью \(\omega_2\) и его центр движется вертикально вверх со скоростью \(\omega_2 r\) (из условия \(\vec v'_P = 0\) для точки контакта на малом колесе, где \(\overrightarrow{CP} = (-r,\ 0)\)).

Точка \(A\) — верхняя точка малого колеса, \(\overrightarrow{CA} = (0,\ r)\). Её скорость относительно центра \(\omega_2\hat z\times\overrightarrow{CA} = (-\omega_2 r,\ 0)\), поэтому в системе \(P\) \[\vec v'_A = (0,\ \omega_2 r) + (-\omega_2 r,\ 0) = (-\omega_2 r,\ \omega_2 r), \qquad |\vec v'_A| = \omega_2 r\sqrt{2} .\] В лабораторной системе по закону сложения скоростей \(\vec v_A = \vec v_P + \vec v'_A = (-\omega_1 R - \omega_2 r,\ -\omega_1 R + \omega_2 r)\). Тогда \[|\vec v_A|^2 = (\omega_1 R + \omega_2 r)^2 + (-\omega_1 R + \omega_2 r)^2 = 2\left(\omega_1^2R^2 + \omega_2^2 r^2\right),\] и \[|\vec v_A| = \sqrt{2\left(\omega_1^2 R^2 + \omega_2^2 r^2\right)} .\] Искомое отношение: \[\dfrac{|\vec v_A|}{\omega_1 R} = \sqrt{2\left(1 + \left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right)} .\] Подставляя \(\omega_2/\omega_1 = 14\), \(r/R = 1/2\): \[\dfrac{|\vec v_A|}{\omega_1 R} = \sqrt{2\left(1 + 14^2\cdot\dfrac{1}{4}\right)} = \sqrt{2\cdot 50} = 10 .\]