Клин с блоком и грузами

Сначала найдите ускорение брусков и силу натяжения нити из уравнений движения каждого груза. Затем рассматривайте клин как тело, на которое действуют силы со стороны грузов, блока и стола.

Клин покоится на шероховатой поверхности, грузы приходят в движение. Напишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на направление движения каждого из них: груз \(m_2\) движется вниз, груз \(m_1\) — вдоль наклонной поверхности клина. На груз \(m_1\) действует сила трения скольжения, модуль которой равен \(F_{\text{тр1}} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g\cos\alpha\). \[\begin{cases} m_2 a = m_2 g - T, \\ m_1 a = T - m_1 g\sin\alpha - \mu_1 m_1 g\cos\alpha . \end{cases}\] Решая систему: \[a = g\,\dfrac{m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu_1\cos\alpha)}{m_1 + m_2}, \qquad T = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\, g\,(1 + \sin\alpha + \mu_1\cos\alpha) .\]

1. Найдём силу нормальной реакции стола \(R\). Напишем второй закон Ньютона для клина в проекции на вертикальную ось. На клин действуют сила тяжести, сила давления со стороны первого груза (по модулю равная силе нормальной реакции клина, действующей на этот груз), сила трения со стороны первого груза, сила давления блока (равная векторной сумме сил натяжения, приложенных к блоку) и сила нормальной реакции стола: \[Mg + N_1\cos\alpha - F_{\text{тр1}}\sin\alpha + T\sin\alpha + T - R = 0 .\] Отсюда \[R = Mg + m_1 g\cos^2\alpha - \mu_1 m_1 g\cos\alpha\sin\alpha + \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\, g\,(1 + \sin\alpha + \mu_1\cos\alpha)(\sin\alpha + 1) .\] Рассчитаем численное значение: \(R \approx 74{,}7\text{ Н}\).

2. Минимальный коэффициент трения. Для того чтобы клин находился в покое, должно выполняться неравенство \(F_{\text{тр клин}} \le \mu R\). Напишем второй закон Ньютона для покоящегося клина в проекции на горизонтальное направление: \[-N_1\sin\alpha - F_{\text{тр1}}\cos\alpha + T\cos\alpha - F_{\text{тр клин}} = 0 .\] Тогда сила трения, действующая на клин: \[F_{\text{тр клин}} = -m_1 g\cos\alpha\sin\alpha - \mu_1 m_1 g\cos^2\alpha + \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\, g\,(1 + \sin\alpha + \mu_1\cos\alpha)\cos\alpha .\] Минимальный коэффициент трения: \[\mu_{\min} = \dfrac{F_{\text{тр клин}}}{R} \approx 0{,}063 .\]