Неоднородная проволока

Ток одинаков во всех сечениях проволоки, поэтому наиболее холодная точка — там, где выделяемая на единицу длины мощность минимальна. Найдите, при каком \(x\) это происходит.

Сила тока \(I\) в установившемся режиме одинакова для любого сечения проводника. Для малого участка длины \(\Delta l\) с центром в точке \(x\) сопротивление \[R(x) = \dfrac{\rho(x)\,\Delta l}{S(x)}, \qquad S(x) = \pi r^2(x) .\] Выделяющаяся на участке мощность \(P(x) = I^2 R(x)\), мощность на единицу длины: \[p(x) = \dfrac{P(x)}{\Delta l} = I^2\,\dfrac{\rho(x)}{S(x)} .\] Поскольку \(I\) не зависит от \(x\), минимум \(p(x)\) достигается там же, где минимум функции \[f(x) = \dfrac{\rho(x)}{S(x)} .\] Площадь сечения: \(S(x) = \pi r^2(x) = \pi r_0^2\,\dfrac{x}{L}\). Тогда \[f(x) = \dfrac{\rho_0 \dfrac{L}{L - x}}{\pi r_0^2\dfrac{x}{L}} = \dfrac{\rho_0 L^2}{\pi r_0^2}\cdot\dfrac{1}{x(L - x)} .\] Минимум \(f(x)\) достигается в точке максимума знаменателя \(x(L - x)\) на интервале \(0 < x < L\). Это парабола с ветвями вниз, её максимум — в вершине: \[x^* = \dfrac{L}{2} .\] Итак, \(x_{\min} = L/2\), откуда \(k = 0{,}5\).