Шар касается поверхности воды

Сила Архимеда равна равнодействующей сил давления на всю поверхность тела. Какое вспомогательное тело с той же нижней поверхностью удобно рассмотреть?

Вычислить силу, действующую на нижнюю часть шара, непосредственно суммируя силы, действующие на каждый малый элемент его поверхности, достаточно сложно, поскольку глубины элементов и их ориентации разные. Поэтому поступим по-другому: вместо шара рассмотрим находящийся в жидкости полушар, представляющий собой нижнюю половину нашего шара.

С одной стороны, на полушар в жидкости действует сила Архимеда \[F_A = \rho g V = \frac{2}{3}\pi R^3\rho g.\] С другой стороны, сила Архимеда, действующая на любое тело в жидкости, равна равнодействующей всех сил, действующих со стороны жидкости на элементы поверхности тела. Поэтому эта сила складывается из силы \(F\), действующей на нижнюю поверхность полушара (её мы ищем), и силы \(F_1\), действующей со стороны жидкости на его верхнюю плоскую поверхность: \[F_A = F - F_1.\] Последнюю силу легко вычислить. Замыкающий полушар круг находится на глубине \(R\), гидростатическое давление воды на этой глубине равно \(\rho g R\), и, следовательно, \[F_1 = \pi R^2\,\rho g R = \pi R^3 \rho g.\] Поэтому из выражения для \(F_A\) находим искомую силу, действующую со стороны воды на нижнюю половину шара: \[F = F_A + F_1 = \frac{2}{3}\pi R^3\rho g + \pi R^3\rho g = \frac{5}{3}\pi R^3\rho g.\]