Две частицы в магнитном поле

Проекция уравнения движения на направление, перпендикулярное отрезку, даёт связь между скоростью частицы и её смещением. Запишите закон сохранения энергии для системы зарядов.

Кулоновское притяжение сближает частицы, и их скорости растут; магнитная составляющая силы Лоренца поворачивает скорости. Если поле достаточно сильное, скорости станут параллельны друг другу, и магнитная сила уравновесит кулоновское притяжение.

Пусть \(x\) — смещение частицы \(+q\) вдоль оси \(x\) (перпендикулярно отрезку, соединяющему частицы), ось \(y\) — вдоль отрезка. Проекция второго закона Ньютона на ось \(y\) даёт \(m a_y = q v_x B\). Умножая это уравнение на малые промежутки времени и суммируя, получаем связь \[m v_y = q B x .\] (Для отрицательно заряженной частицы связь аналогична.) В точке максимального сближения скорости направлены по оси \(y\), и \(v_y = v\).

Закон сохранения энергии для системы двух частиц (каждая смещена на \(x\)): \[m v^2 = \frac{k q^2}{l - 2x} - \frac{k q^2}{l} = \frac{2 k q^2 x}{l\,(l - 2x)} .\] Подставляя \(v\) в связь \(m v = qBx\), получаем \[B^2 = \frac{2 k m}{l\,x\,(l - 2x)} ,\] что приводится к квадратному уравнению относительно \(x\): \[x^2 - \frac{l}{2}\,x + \frac{k m}{l B^2} = 0 .\] Решение существует, если дискриминант неотрицателен: \[\frac{l^2}{16} \ge \frac{k m}{l B^2} \quad\Rightarrow\quad B \ge 4\sqrt{\frac{k m}{l^3}} .\] Минимальная индукция \[B_{\min} = 4\sqrt{\frac{k m}{l^3}} ,\] и при ней \(x = \dfrac{l}{4}\), так что частицы сближаются до расстояния \[l - 2x = \frac{l}{2} .\] При большей индукции скорости станут параллельными при меньшем \(x\), и частицы начнут расходиться, а затем снова сблизятся.