Тепловой двигатель

Подсказка

Постройте цикл в осях \((P,V)\) по узловым состояниям: изохорный нагрев, расширение с постоянной силой рабочего устройства, охлаждение и возврат пружиной. Для неравновесности учтите, что давление на убегающий поршень меньше среднего.

Ответ

1.2) \(\eta=\dfrac{2}{21}\approx0{,}095\);  1.3) \(N=\dfrac{q}{20}\);  2.2) \(\eta\approx0{,}082\);  3.2) КПД уменьшается примерно на \(0{,}2\%\);  4.1) \(\bar v\approx0{,}13\) м/с;  4.2) КПД уменьшается примерно на \(0{,}5\%\).

Решение

Часть 1.

Построим диаграмму процесса изменения состояния рабочего газа. Обозначим площадь поперечного сечения рабочего цилиндра \(S\), а жесткость пружины \(k\).

Последовательно рассмотрим все узловые состояния и процессы рабочего газа. Конечно, коэффициент полезного действия машины можно подсчитать как отношение работы (численно равной площади цикла) к количеству полученной теплоты. Однако, учитывая, что нам необходимо найти и среднюю мощность, вычислим сразу и теплоты, получаемые от нагревателя и отданные холодильнику на каждом этапе.

Состояние 0.

В начальном состоянии параметры газа следующие:

- объем \(V_0 = l_0 S\);

- давление обусловлено силой упругости пружины

\[P_0 = \frac{k l_0}{S} = \frac{F_0}{S};\]

- температура находится из уравнения состояния идеального газа (\(\nu\) - количество молей рабочего газа)

\[T_0 = \frac{P_0 V_0}{\nu R} = \frac{k l_0^2}{\nu S} = \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{1}\]

Состояние 1.

После включения нагревателя температура и давления газа начнут расти до тех пор, пока сила давления газа на поршень окажется в состоянии сдвинуть поршень вправо (состояние 1). В этот момент объем еще останется прежним

\[V_1 = V_0 = l_0 S,\]

давление газа станет равным

\[P_1 = \frac{k l_0 + F_1}{S} = \frac{(n+1)F_0}{S} = 3 \frac{F_0}{S},\]

а температура

\[T_1 = \frac{P_1 V_0}{\nu R} = \frac{(k l_0 + F_1) l_0}{\nu S} = \frac{(n+1)F_0 l_0}{\nu R} = 3 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{2}\]

Процесс 0 – 1.

Таким образом, процесс \((0 \to 1)\) является изохорным, в его ходе газ получит количество теплоты, равное

\[Q_{0 \to 1} = \nu C_V (T_1 - T_0) = \nu \frac{5}{2} R = \frac{5}{2} n F_0 l_0 = 5 F_0 l_0.\tag{3}\]

При постоянной мощности нагревателя этот процесс будет протекать в течение промежутка времени

\[\tau_1 = \frac{Q_{0 \to 1}}{q_1} = \frac{5}{2} n \frac{F_0 l_0}{q_1} = 5 \frac{F_0 l_0}{q_1}.\tag{4}\]

При дальнейшем нагреве поршень будет смещаться вправо. Состояние 2. В конечной точке расширения, когда объем станет равным \(V_2 = l_1 S = m l_0 S = 2 l_0 S\), давление достигнет значения

\[P_2 = \frac{k l_1 + F_1}{S} = \frac{k m l_0 + n F_0}{S} = \frac{(m + n) F_0}{S} = 4 \frac{F_0}{S},\tag{6}\]

а температура станет равной

\[T_2 = \frac{P_2 V_2}{\nu R} = \frac{(m + n) m F_0 l_0}{\nu R} = 8 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{7}\]

Процесс 1 – 2. Пусть поршень находится в некоторой промежуточной точке с координатой \(x\), в этом состоянии объем газа будет равен \(V(x) = x S\). Считая процесс равновесным и пренебрегая инерционностью системы, давление газа можно записать в виде

\[P(x) = \frac{k x + F_1}{S},\tag{8}\]

то есть зависимость давления от объема является линейной. Работа, совершенная газом в процессе расширения, численно равна площади под графиком процесса на рассматриваемом участке \((1 \to 2)\)

\[A_{1 \to 2} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{1}{2} \left( \frac{(m + n) F_0}{S} + \frac{(n + 1) F_0}{S} \right) (m - 1) l_0 S =\]

\[= \frac{(m + 2n + 1)(m - 1)}{2} F_0 l_0 = 3{,}5 F_0 l_0\tag{9}\]

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле

\[\Delta U_{1 \to 2} = \nu C_V (T_2 - T_1) = \nu \frac{5}{2} R \left( \frac{(m + n) m F_0 l_0}{\nu R} - \frac{(n + 1) F_0 l_0}{\nu R} \right) =\tag{10}\]

\[= \frac{5}{2} F_0 l_0 ((m + n) m - (n + 1)) = 12{,}5 F_0 l_0\]

Количество теплоты, полученной в ходе процесса \((1 \to 2)\), рассчитывается с помощью первого закона термодинамики

\[Q_{1 \to 2} = \Delta U_{1 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{1}{2} F_0 l_0 (6m + 7n + 6)(m - 1) = 16 F_0 l_0.\tag{11}\]

Соответственно, время этого процесса

\[\tau_2 = \frac{Q_{1 \to 2}}{q} = \frac{F_0 l_0}{2q} (6m + 7n + 6)(m - 1) = 16 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{12}\]

Состояние 3. После отключения нагревателя и включения холодильника газ начнет охлаждаться при неизменном объеме \(V_3 = m l_0 S\), до тех пор, сила давления газа не станет меньше силы упругости возвращающей пружины, то есть до значения

\[P_3 = \frac{m k l_0}{S} = m \frac{F_0}{S} = 2 \frac{F_0}{S}.\tag{13}\]

Температура при этом станет равной

\[T_3 = \frac{P_3 V_3}{\nu R} = m^2 \frac{F_0 l_0}{\nu R} = 4 \frac{F_0 l_0}{\nu R}.\tag{14}\]

Процесс 2-3. Процесс остывания является изохорным (при этом работа равна нулю \(A_{2 \to 3} = 0\)), количество отданной теплоты равно уменьшению внутренней энергии

\[\Delta U_{2 \to 3} = Q_{2 \to 3} = \frac{5}{2} \nu C_V (T_2 - T_3) = \frac{5}{2} F_0 l_0 m n = 10 F_0 l_0\tag{15}\]

и пройдет за время

\[\tau_3 = \frac{Q_{2 \to 3}}{q} = \frac{5 F_0 l_0}{2 q} m n = 10 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{16}\]

Процесс 3-4. Так как газ сжимается под действием пружины, то его давление определяется силой упругости пружины

\[P = \frac{k x}{S}.\tag{17}\]

Характеристики этого процесса рассчитываются стандартным методом: - изменение внутренней энергии

\[\Delta U_{3 \to 0} = \frac{5}{2} \nu C_V (T_0 - T_3) = -\frac{5}{2} F_0 l_0 (m^2 - 1) = -7{,}5 F_0 l_0;\tag{18}\]

- работа, совершенная газом,

\[A_{3 \to 0} = \frac{P_3 + P_0}{2} \cdot (V_0 - V_3) = -\frac{1}{2} \left( \frac{m F_0}{S} + \frac{F_0}{S} \right) (m - 1) l_0 S = -\frac{(m^2 - 1)}{2} F_0 l_0 = -1{,}5 F_0 l_0;\tag{19}\]

- количество отданной теплоты

\[Q_{3 \to 0} = \frac{(m^2 - 1)}{2} F_0 l_0 + \frac{5}{2} (m^2 - 1) F_0 l_0 = 3 (m^2 - 1) F_0 l_0 = 9 F_0 l_0;\tag{20}\]

- время протекания процесса

\[\tau_4 = 3 (m^2 - 1) \frac{F_0 l_0}{q} = 9 \frac{F_0 l_0}{q}.\tag{21}\]

Коэффициент полезного действия двигателя рассчитаем по формуле

\[\eta = \frac{A_\Sigma}{Q_{0 \to 1} + Q_{1 \to 2}} = \frac{2 n (m - 1)}{5 n + (6 m + 7 n + 6)(m - 1)} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095.\tag{22}\]

Заметим, что в данном случае работа газа над поршнем равна работе рабочего устройства, которая в свою очередь легко может быть рассчитана как произведение перемещения поршня на силу, которая действует со стороны поршня на рабочее устройство

\[A = n F _ { 0 } ( m - 1 ) l _ { 0 } = n ( m - 1 ) F _ { 0 } l _ { 0 } = 2 F _ { 0 } l _ { 0 } \, .\tag{23}\]

Во всех остальных случаях «полезная» работа также будет определяться этой формулой, но не будет равна работе газа за цикл.

Среднюю мощность двигателя рассчитаем как отношение полезной работы к периоду цикла

\[N = \frac { A } { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } + \tau _ { 3 } + \tau _ { 4 } } = \frac { q } { 2 0 } \, .\tag{24}\]

Для удобства представим параметров газа во всех узловых состояниях в таблице 1, а характеристики процессов в таблице 2.

Таблица 1.

Таблица 2.

Часть 2.

С учетом атмосферного давления «картинка цикла» поднимется на единицу вверх по шкале \(\left( \frac { P } { P _ { 0 } } \right)\), что приведет к увеличению теплоты, которую сообщает газу нагреватель. Газ, по-прежнему,

получает теплоту от нагревателя на участках изохорического процесса \((0 \to 1)\) и процесса расширения \((1 \to 2)\).

Расчет параметров газа в узловых точках процесса аналогичен проведенному выше, поэтому приведем его без комментариев и дадим в виде таблицы 3.

Таблица 3.

Согласно первому закону термодинамики это количество теплоты равно

\[Q_{0 \to 2} = \Delta U_{0 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{5}{2} \nu R (T_2 - T_0) + \frac{P_1 + P_2}{2} (V_2 - V_1) = 24{,}5 F_0 l_0\tag{25}\]

Соответственно, коэффициент полезного действия равен

\[\eta = \frac{A}{Q_{0 \to 2}} = \frac{2}{24{,}5} \approx 0{,}082\,,\tag{26}\]

что меньше, чем в «идеальном» случае.

Часть 3. При учете силы трения к рассмотренному циклу добавятся две узкие «полоски», иллюстрирующие преодоление этих сил, что приведет к увеличению теплоты, сообщаемой нагревателем. Следует особо отметить, что на этапе расширения сила трения приводит к увеличению давления газа, а на участке сжатия к его уменьшению. Значения характеристик газа для данного цикла представлены в таблице 3. Таблица 3.

Расчет количества полученной теплоты имеет вид

\[Q_{0 \to 2} = \Delta U_{0 \to 2} + A_{1 \to 2} = \frac{5}{2} \nu R (T_2 - T_0) + \frac{P_1 + P_2}{2} (V_2 - V_1) = \\ = \frac{5}{2} F_0 l_0 \cdot 8{,}3 + \frac{1}{2} F_0 l_0 \cdot 9{,}2 = 25{,}35 F_0 l_0\tag{28}\]

Следовательно, коэффициент полезного действия

\[\eta = \frac{A}{Q_{0 \to 2}} = \frac{2}{25{,}35} \approx 0{,}079\tag{29}\]

Как видно, значение К.П.Д. почти совпадает с предыдущим значением. Поэтому можно провести приближенный расчет. Найдем, насколько увеличится количество полученной газом теплоты \(\delta Q_{0 \to 2}\) из-за наличия трения. Имеется две причины увеличения этой теплоты: во-первых, увеличение изменения температуры (начальная температура чуть ниже на величину \(\delta T_0 = \frac{F_{\text{тр}} l_0}{\nu R}\), а конечная чуть выше \(\delta T_2 = \frac{m F_{\text{тр}} l_0}{\nu R}\)); во-вторых, незначительно увеличивается давление в процессе расширения \(\delta P_{1 \to 2} = \frac{F_{\text{тр}} l_0}{S}\). Поэтому

\[\delta Q_{0 \to 2} = C_V (\delta T_0 + \delta T_2) + \delta P_{1 \to 2} \Delta V = \frac{5}{2} (m+1) \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 + (m-1) \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 = \\ = 7{,}5 \frac{F_{\text{тр}}}{F_0} F_0 l_0 = 0{,}75 F_0 l_0\]

Теперь изменение К.П.Д. можно рассчитать по формулам

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle \eta + \delta \eta = \frac { A } { Q _ { 0 \to 2 } + \delta Q _ { 0 \to 2 } } \approx \frac { A } { Q _ { 0 \to 2 } } \left( 1 - \frac { \delta Q _ { 0 \to 2 } } { Q _ { 0 \to 2 } } \right) \quad \Rightarrow } } \\ { { \displaystyle \delta \eta = - \eta \frac { \delta Q _ { 0 \to 2 } } { Q _ { 0 \to 2 } } = - \frac { 0 { , } 0 8 2 \cdot 0 { , } 7 5 } { 2 4 { , } 5 } \approx - 0 { , } 0 0 2 5 = - 0 { , } 2 \% } } \end{array}\tag{30}\]

Часть 4

4.1 Основной причиной того, что поршень перестанет ускорятся, является то обстоятельство, что давление газа на движущийся поршень отличается от давления на неподвижную преграду. Найдем, какое давление оказывает газ на поршень,

движущийся с постоянной скоростью \(V\), используя традиционные методы МКТ. Будем считать, что скорость движения поршня \(V\), значительно меньше средней скорости теплового движения молекул. Молекула, имеющая проекцию скорости \(v_x\) (нормальную к поверхности), при ударе передает поршню импульс

\[\Delta p_x = 2m(v_x - V).\tag{1}\]

Число молекул, имеющих скорость близкую к \(v_x\) и достигших поршня за время \(\Delta t\), равно

\[\Delta n = n(v_x - V)S\Delta t.\tag{2}\]

Для вычисления давления необходимо провести усреднение по возможным значениям скоростей молекул

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle P = \left\langle \frac { \Delta p_x \Delta n } { S \Delta t } \right\rangle = 2mn \left\langle (v_x - V)^2 \right\rangle \approx 2mn \left( \left\langle v_x^2 \right\rangle - 2V \left\langle v_x \right\rangle \right) = } } \\ { { \displaystyle = 2mn \left\langle v_x^2 \right\rangle \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) \approx P_0 \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) } } \end{array}\tag{3}\]

причем усреднение необходимо проводить по молекулам, нормальные составляющие скоростей которых лежат в интервале \(v_x \in [V, +\infty]\). Для оценки средних величин, стоящих в выражении (3), примем, что средняя проекции скорости примерно равна среднеквадратичному, а средний квадрат проекции легко определяется из формулы для среднего квадрата модуля скорости. Поэтому

\[\begin{array} { l } { { \displaystyle \left\langle v_x^2 \right\rangle \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } \left\langle v^2 \right\rangle \right) = \frac { 1 } { 2 } \frac { kT } { m } } } \\ { { \displaystyle \left\langle v_x \right\rangle \approx \sqrt { \left\langle v_x^2 \right\rangle } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { kT } { m } } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { RT } { M } } } } \end{array}\]

таким образом, давление газа на движущийся поршень определяется выражением

\[P \approx P_0 \left( 1 - 2 \frac { V \left\langle v_x \right\rangle } { \left\langle v_x^2 \right\rangle } \right) \approx P_0 \left( 1 - 2V \sqrt { \frac { 2M } { RT } } \right) = P_0 (1 - \beta V),\tag{4}\]

где коэффициент пропорциональности равен

\[\beta \approx 2 \sqrt{\frac{2 M}{R T}}.\tag{5}\]

Заметим, что более точный расчет с корректным вычислением средних приводит к результату \(\beta = 2 \frac{\left\langle v_{x}\right\rangle}{\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{M}{R T}} \approx 1{,}6 \sqrt{\frac{M}{R T}}\). Поршень будет двигаться с постоянной скоростью, когда силы давления газа на обе стороны поршня сравняются. В этом случае справедливо уравнение

\[(P+\Delta P)(1-\beta \bar{v})=P(1+\beta \bar{v}),\tag{6}\]

из которого определяем скорость движения поршня

\[\bar{v} = \frac{\Delta P}{2 \beta P} = \frac{\Delta P}{P} \frac{1}{4} \sqrt{\frac{R T}{2 M}} \approx 0{,}13 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{7}\]

4.2 Мы показали, что сила давления на «убегающий» поршень меньше среднего давления газа. Следовательно, для того чтобы в рассматриваемом двигателе поршень перемещался, необходимо увеличить среднее давление газа. Требуемое увеличение давления определяется из формулы (4)

\[\delta P \approx \beta P \bar{v}.\tag{1}\]

Такое увеличение потребует увеличения количества теплоты, потребляемой от нагревателя, это увеличение оценивается также, как и при учете силы трения

\[\delta Q_{0 \rightarrow 2} = \frac{5}{2} \nu R \frac{2 l_0 S \delta P}{\nu R} + \delta P (m-1) l_0 S \approx Q_{0 \rightarrow 2} \frac{\delta P}{P}.\tag{2}\]

Соответственно уменьшается коэффициент полезного действия двигателя

\[\delta \eta = -\eta \frac{\delta Q_{0 \rightarrow 2}}{Q_{0 \rightarrow 2}} = -\eta \frac{\delta P}{P} = \eta \beta \bar{v} \approx -0{,}005 = -0{,}5\%.\tag{3}\]

Добавление, не входящее в основное решение.} Вычисление коэффициента \(\beta\). Расчет проведен с точностью до первой степени скорости движения поршня

\[\left\langle v_x^2 \right\rangle = \int_V^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x = \int_0^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x - \int_0^V v_x^2 \varphi(v_x) dv_x \approx\]

\[\approx \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty v_x^2 \varphi(v_x) dv_x - \frac{1}{2} \left( \left[ v_x^2 \varphi(v_x) \right]_0 + \left[ v_x^2 \varphi(v_x) \right]_V \right) V =\]

\[= \frac{1}{6} \left\langle v^2 \right\rangle - \frac{1}{2} V^3 \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \approx \frac{1}{2} \frac{k T}{m}\]

\[\left\langle v_x \right\rangle = \int_V^\infty v_x \varphi(v_x) dv_x = \int_0^\infty v_x \varphi(v_x) dv_x - \int_0^V v_x \varphi(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{k T}{2 \pi m}}\]

\[\beta = 2 \frac{\left\langle v_x \right\rangle}{\left\langle v_x^2 \right\rangle} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{M}{R T}} \approx 1{,}6 \sqrt{\frac{M}{R T}}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.