Заряженный треугольник

Потенциал точки пропорционален линейному размеру равномерно заряженной фигуры; высота делит треугольник на два подобных ему, и можно применить принцип суперпозиции.

\(\varphi_C = \varphi_A\sin\alpha + \varphi_B\cos\alpha\);  \(\varphi_D = (\varphi_A\sin\alpha + \varphi_B\cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)\).

Исследуем, как изменяется потенциал некоторой точки рассматриваемого треугольника при замене его на подобный ему с сохранением прежней поверхностной плотности заряда. Во-первых, потенциал обратно пропорционален линейному размеру, так как этот размер задаёт масштаб расстояний до всех точечных зарядов, образующих заряженное тело. Во-вторых, потенциал прямо пропорционален заряду, который в силу постоянства его поверхностной плотности прямо пропорционален площади, или квадрату линейного размера. Объединение этих двух зависимостей означает прямую пропорциональность между потенциалом и линейным размером.

Примечание. Обратите внимание на общность вывода: потенциал любой точки пространства (заданной относительно фигуры в единицах её линейного размера) прямо пропорционален линейному размеру любой плоской фигуры с постоянной поверхностной плотностью заряда.

Пусть \(R\) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\), тогда потенциалы вершин треугольника можно представить в виде \[\varphi_A = aR,\qquad \varphi_B = bR,\qquad \varphi_C = cR,\] где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые коэффициенты, определяемые формой треугольника, но не зависящие от его размера, если он подобен исходному (выбор в качестве линейного размера именно радиуса описанной окружности связан только с тем, что нам нравится буква \(R\) для обозначения размера). Высота \(CD\) делит прямоугольный треугольник \(ABC\) на два подобных ему треугольника \(BCD\) и \(ACD\) с коэффициентами подобия \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) соответственно.

1. Найдём потенциал \(\varphi_C\) по принципу суперпозиции через пару новых треугольников (для них точка \(C\) — вершина того или другого острого угла): \[\varphi_C = \varphi_{C(BCD)} + \varphi_{C(ACD)} = aR\sin\alpha + bR\cos\alpha = \varphi_A\sin\alpha + \varphi_B\cos\alpha.\] 2. Найдём потенциал \(\varphi_D\) по принципу суперпозиции через пару новых треугольников (для каждого из них точка \(D\) — вершина прямого угла): \[\varphi_D = \varphi_{D(BCD)} + \varphi_{D(ACD)} = cR\sin\alpha + cR\cos\alpha = \varphi_C(\sin\alpha + \cos\alpha) = (\varphi_A\sin\alpha + \varphi_B\cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.