Урановый шар

Мощность потока тепла через сферу радиуса \(r\) по закону теплопроводности должна равняться мощности, выделяющейся внутри шара радиуса \(r\); получится дифференциальное уравнение для \(T(r)\).

\(T = T_0 + \dfrac{q}{6k}\left(R^2 - r^2\right)\).

По закону теплопроводности мощность потока энергии наружу через сферу радиусом \(r\) и толщиной \(dr\) имеет вид \[N = -k\cdot 4\pi r^2\cdot\dfrac{dT}{dr},\] где знак минус обеспечивает условие \(N > 0\) при \(dT/dr < 0\). В стационарном состоянии эти потери равны тепловой мощности, выделяющейся внутри шара радиусом \(r\): \[N = \dfrac{4}{3}\pi r^3 q.\] Приравнивая эти выражения для \(N\), получаем дифференциальное уравнение \[dT = -\dfrac{qr\,dr}{3k},\] интегрируя которое находим общее решение \[T = -\dfrac{qr^2}{6k} + C,\] а из граничного условия \(T(R) = T_0\) выражаем константу интегрирования \[C = T_0 + \dfrac{qR^2}{6k}.\] После подстановки этого выражения для \(C\) в общее решение получаем искомое частное решение дифференциального уравнения: \[T = T_0 + \dfrac{q}{6k}\left(R^2 - r^2\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.