Газовый тройник

Поток молекул через канал пропорционален концентрации на входе и корню из температуры; через большое время потоки в обе стороны по каждой трубке сравниваются.

\(P_1 = P_4 = \dfrac{3P_0}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 1{,}3P_0\),  \(P_2 = \dfrac{3P_0\sqrt2}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 1{,}9P_0\),  \(P_3 = \dfrac{3P_0\sqrt3}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 2{,}3P_0\).

Пусть \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) и \(n_4\) — установившиеся концентрации частиц соответственно в трёх сосудах и в свободном пространстве внутри тройника, тогда уравнения состояния идеального газа для этих четырёх объёмов имеют вид \[P_1 = n_1kT_0,\qquad P_2 = n_2k\cdot 2T_0,\qquad P_3 = n_3k\cdot 3T_0,\qquad P_4 = n_4kT_0,\] где \(k\) — постоянная Больцмана, \(T_0\) — начальная температура системы. Объёмы трёх сосудов равны между собой и много больше объёма внутри тройника, поэтому закон сохранения числа частиц имеет вид \[n_1 + n_2 + n_3 = 3\cdot\dfrac{P_0}{kT_0}.\] Поскольку диаметр каналов много меньше длины свободного пробега молекул, их поток следует рассчитывать через движение отдельных частиц, а не газа в целом. Поток \(Z\) частиц через канал (в одну сторону) прямо пропорционален концентрации \(n_{in}\) частиц на входе в канал и их средней скорости, которая пропорциональна корню из абсолютной температуры \(T_{in}\), то есть этот поток имеет вид \[Z = A\cdot n_{in}\cdot\sqrt{T_{in}},\] где \(A\) — коэффициент, одинаковый для всех трубок с любой стороны. Через большое время потоки в разные стороны через каждую трубку сравняются: \[\begin{cases} An_1\sqrt{T_0} = An_4\sqrt{T_0},\\ An_2\sqrt{2T_0} = An_4\sqrt{T_0},\\ An_3\sqrt{3T_0} = An_4\sqrt{T_0}. \end{cases}\] Примечание. В силу симметрии тройника совпали вообще все шесть потоков (в две стороны для каждой из трёх трубок), но если бы, например, сечения трубок различались, то этого всеобщего равенства уже не случилось.

Решая совместно все 8 записанных выше уравнений, исключаем 4 концентрации и находим 4 искомых давления: \[P_1 = P_4 = \dfrac{3P_0}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 1{,}3P_0,\] \[P_2 = \dfrac{3P_0\sqrt2}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 1{,}9P_0,\] \[P_3 = \dfrac{3P_0\sqrt3}{1+\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3}} \approx 2{,}3P_0.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.