Пружина с переменным числом витков

Освобождение витка происходит в положении равновесия, где пружина не деформирована, поэтому энергия колебаний сохраняется; время найдите суммой полупериодов, заменив её интегралом.

\(A = A_0\sqrt{1+\dfrac{\Delta N}{N}}\);  \(t \approx \dfrac{T_0}{2}\left(\left(1+\dfrac{\Delta N}{N}\right)^{3/2} - 1\right)\).

Все изменения числа свободных витков и соответственно жёсткости пружины происходят в положении равновесия, когда пружина не деформирована, причём длина пружины остаётся прежней, поэтому координата положения равновесия и энергия системы сохраняются. Пусть \(k\) — жёсткость одного витка, тогда равенство энергий в крайних положениях при изначальных колебаниях и после освобождения \(\Delta N\) витков имеет вид \[\dfrac{k}{N}\cdot\dfrac{A_0^2}{2} = \dfrac{k}{N+\Delta N}\cdot\dfrac{A^2}{2},\] откуда находим искомую амплитуду: \[A = A_0\sqrt{1+\dfrac{\Delta N}{N}}.\] Пусть \(m\) — масса груза, периоды колебаний до начала освобождения витков и после освобождения \(n\) витков имеют соответственно вид \[T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{mN}{k}}\qquad\text{и}\qquad T_n = 2\pi\sqrt{\dfrac{m(N+n)}{k}},\] откуда получаем соотношение \[T_n = T_0\cdot\sqrt{1+\dfrac{n}{N}}.\] К искомому моменту времени \(t\) груз совершит по половине колебания с каждым числом витков от \((N+1)\) до \((N+\Delta N)\) включительно: \[t = \dfrac{1}{2}\cdot\left(T_1 + T_2 + \ldots + T_{\Delta N}\right) = \dfrac{T_0}{2}\sum_{n=1}^{\Delta N}\sqrt{1+\dfrac{n}{N}}.\] На основании условий \(N \gg 1\) и \(\Delta N \gg 1\) это выражение можно упростить: \[t \approx \dfrac{T_0}{2}\int\limits_0^{\Delta N}\sqrt{1+\dfrac{n}{N}}\,dn = \dfrac{T_0}{2}\left(1+\dfrac{n}{N}\right)^{3/2}\Bigg|_0^{\Delta N} = \dfrac{T_0}{2}\left(\left(1+\dfrac{\Delta N}{N}\right)^{3/2} - 1\right).\] Обратите внимание на различие между пределами интеграла и суммы: оно необходимо для правильного учёта площадей крайних столбиков. Точность была бы чуть выше при симметричной корректировке, то есть при выборе пределов от \(0{,}5\) до \(\Delta N + 0{,}5\), но в условиях задачи это не принципиально.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.