Ртутное зеркало телескопа

Поверхность вращающейся ртути — параболоид; найдите его фокусное расстояние и свяжите его с диаметром изображения Луны в фокальной плоскости.

\(\omega = \sqrt{\dfrac{g\gamma}{2d}} \approx 1{,}1\) с\(^{-1}\).

Рассмотрим сечение жидкости вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения (см. рисунок). Направим ось \(x\) горизонтально, ось \(y\) — вдоль оси вращения, выберем начало координат \(O\) в нижней точке поверхности жидкости и найдём форму этой поверхности как зависимость \(y(x)\).

Примечание. В образовательных целях мы рассмотрим три равносильных способа вывода этой зависимости. Вообще, решение реальных научных задач различными методами — это стандартный приём повышения надёжности результатов, так как вероятность получить один и тот же ошибочный ответ несколькими независимыми способами очень мала.

Способ 1 — через энергию. Во вращающейся системе отсчёта на элемент жидкости массой \(m\), расположенный в точке \((x;y)\), действует центробежная сила \(F = -m\omega^2x\), интегрируя которую, находим потенциальную энергию в поле центробежных сил: \[W = -\dfrac{m\omega^2x^2}{2},\] где при подстановке константы интегрирования уже учтён выбор нуля потенциальной энергии в начале координат (для выведенной формулы можно было выбрать ноль в любой точке оси вращения, но берём именно начало координат для предстоящего учёта потенциальной энергии в поле тяжести).

В установившемся режиме поверхность жидкости должна быть эквипотенциальной (иначе началось бы перетекание жидкости), что даёт уравнение \[mgy - \dfrac{m\omega^2x^2}{2} = 0,\] откуда находим искомую зависимость \[y = \dfrac{\omega^2}{2g}\cdot x^2, \tag{1}\] график которой имеет форму параболы, а значит, поверхность жидкости в пространстве является параболоидом вращения.

Способ 2 — через давление. Рассмотрим тонкий столб жидкости высотой \(y\), расположенный на расстоянии \(x\) от оси вращения и имеющий толщину \(dx\) (вдоль оси \(x\)) и \(dz\) (вдоль перпендикуляра к плоскости рисунка). Этот столб массой \(dm = \rho y\,dx\,dz\), где \(\rho\) — плотность жидкости, движется в лабораторной системе отсчёта с центростремительным ускорением \(a = \omega^2x\) за счёт нескомпенсированной силы гидростатического давления \[dF = \rho g y\cdot dy\,dz,\] где \(dy\) — изменение высоты столба жидкости при смещении на \(dx\). Подставляя эти выражения во второй закон Ньютона \(dF = a\,dm\), получаем уравнение \[g\,dy = \omega^2x\,dx,\] интегрируя которое, получаем нужную зависимость \[y = \dfrac{\omega^2}{2g}\cdot x^2,\] где при выборе константы интегрирования уже учтено условие \(y(0) = 0\).

Способ 3 — через касательную. Во вращающейся системе отсчёта на элемент жидкости массой \(m\), расположенный в точке \((x;y)\), действует центробежная сила \(F_1 = -m\omega^2x\), которую в сумме с силой тяжести \(F_2 = -mg\) можно назвать эффективной силой тяжести, так как силы гравитации и инерции во многом родственны. Поверхность жидкости должна быть перпендикулярна эффективному ускорению свободного падения, а значит, будет образовывать угол \(\varphi\) с горизонтом: \[\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{\omega^2x}{g}.\] Геометрический смысл производной — это тангенс угла наклона касательной, откуда следует уравнение \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\omega^2x}{g},\] интегрируя которое, получаем нужную зависимость \[y = \dfrac{\omega^2}{2g}\cdot x^2,\] где при выборе константы интегрирования уже учтено условие \(y(0) = 0\).

Примечание. Итак, функцию \(y(x)\) мы нашли тремя способами. Предлагаем читателям из спортивного интереса придумать ещё несколько вариантов.

Рассмотрим отражение лучей лунного света, падающих параллельно оси \(y\), в точке \((x;y)\) поверхности ртути (см. второй рисунок). Из закона отражения и геометрических соотношений выразим координату \(f\) точки \(F\), в которой отражённый луч пересечёт ось \(y\): \[f = y + x\operatorname{ctg}2\varphi,\] где \(\varphi\) — угол наклона касательной, равный углам падения и отражения: \[\operatorname{tg}\varphi = y'(x) = \dfrac{\omega^2x}{g}.\]

После подстановки с помощью тригонометрической формулы \[\operatorname{ctg}2\varphi = \dfrac{1-\operatorname{tg}^2\varphi}{2\operatorname{tg}\varphi}\] получаем искомую координату \[f = \dfrac{g}{2\omega^2},\] которая удивительным образом не содержит координат точки отражения \((x;y)\), то есть все падающие лучи пройдут через точку \(F\), которую поэтому логично называть фокусом параболического зеркала.

Примечание. Величину \(f\) можно найти по известной формуле \(f = R/2\) для фокусного расстояния сферического зеркала радиусом \(R\), а радиус кривизны зависимости \(y(x)\) вблизи начала координат — из следующего мысленного эксперимента. Пусть материальная точка движется с постоянной скоростью \(v\) по оси \(x\) и с постоянным ускорением \(a\) по оси \(y\), тогда её закон движения в проекции на оси и траектория имеют соответственно вид: \[x = vt,\qquad y = \dfrac{at^2}{2}\qquad\text{и}\qquad y = kx^2,\qquad\text{где}\qquad k = \dfrac{a}{2v^2}.\] В начале координат ускорение \(a\) равно центростремительному: \[a = \dfrac{v^2}{R},\] откуда получаем связь между радиусом кривизны параболы в её вершине и старшим коэффициентом соответствующей квадратичной функции: \[R = \dfrac{v^2}{a} = \dfrac{1}{2k}.\] После подстановки \(k = \omega^2/(2g)\) из уравнения поверхности ртути получаем \[R = \dfrac{g}{\omega^2}\qquad\text{и}\qquad f = \dfrac{R}{2} = \dfrac{g}{2\omega^2}.\] Изображение Луны будет в фокальной плоскости параболического зеркала, а диаметр изображения можно в приближении малых углов найти по формуле \[d = f\gamma = \dfrac{g\gamma}{2\omega^2},\] из которой получаем окончательный ответ \[\omega = \sqrt{\dfrac{g\gamma}{2d}} \approx 1{,}1\text{ с}^{-1}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.