Растекание потока

Ток через цилиндрическую часть пластины радиуса \(x\) пропорционален \(x^2\); примените закон Ома к тонкому цилиндрическому слою и проинтегрируйте.

\(\varphi_0 = \dfrac{\rho I_0}{4\pi h}\);  \(P_0 = \dfrac{\rho I_0^2}{8\pi h}\).

Пусть \(R\) — радиус пластины, тогда сила тока частиц, падающих не далее чем на расстоянии \(x\) от центра пластины, имеет вид \[I = I_0\cdot\dfrac{x^2}{R^2}.\] Для нахождения приращения потенциала на расстоянии \(x\) от центра пластины применим закон Ома и формулу для удельного сопротивления к току через часть пластины в форме соосного с ней цилиндра радиусом \(x\) и высотой \(h\) с тонкими стенками толщиной \(dx\): \[d\varphi = -I\cdot\rho\cdot\dfrac{dx}{2\pi xh} = -\dfrac{\rho I_0x\,dx}{2\pi hR^2}.\] Изменение потенциала от центра к краю найдём через интеграл: \[\varphi(R) - \varphi(0) = -\int\limits_0^R\dfrac{\rho I_0x\,dx}{2\pi hR^2} = -\dfrac{\rho I_0x^2}{4\pi hR^2}\Bigg|_0^R = -\dfrac{\rho I_0}{4\pi h}.\] Из условия \(\varphi(R) = 0\) (выбор потенциала земли) получаем первый ответ: \[\varphi_0 = \varphi(0) = \dfrac{\rho I_0}{4\pi h}.\] Для нахождения мощности, выделяющейся в рассмотренном тонкостенном цилиндре, применим закон Джоуля–Ленца: \[dP = I^2\cdot\rho\cdot\dfrac{dx}{2\pi xh} = \dfrac{\rho I_0^2x^3\,dx}{2\pi hR^4}.\] Искомую общую мощность найдём путём интегрирования: \[P_0 = \int\limits_0^R\dfrac{\rho I_0^2x^3\,dx}{2\pi hR^4} = \dfrac{\rho I_0^2x^4}{8\pi hR^4}\Bigg|_0^R = \dfrac{\rho I_0^2}{8\pi h}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.