Колебания на циклоиде

Вблизи положения равновесия бусинка движется как математический маятник, длина которого равна радиусу кривизны циклоиды в нижней точке. Найдите его, перейдя в систему отсчёта центра катящегося колеса.

\(T = 4\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}\).

Рассмотрим катящееся без проскальзывания колесо, точка \(A\) на ободе которого проходит через нижнюю точку рассматриваемой циклоиды (см. рисунок). Пусть \(v\) — скорость центра колеса, тогда в силу неподвижности точки колеса \(K\), касающейся поверхности, все точки на ободе колеса движутся со скоростью \(v\) относительно центра, а значит, точка \(A\), диаметрально противоположная точке касания, движется со скоростью \(2v\). Пусть \(L\) — радиус кривизны циклоиды в нижней точке, тогда выражения для одного и того же центростремительного ускорения \(a\) точки \(A\) в исходной системе отсчёта и в инерциальной системе отсчёта центра колеса примут соответственно вид: \[a = \dfrac{(2v)^2}{L}\qquad\text{и}\qquad a = \dfrac{v^2}{R},\] откуда получаем связь \[L = 4R.\]

Примечание. Обратите внимание на этот приём: для решения чисто геометрической задачи о нахождении радиуса кривизны линии в заданной точке мы провели мысленный эксперимент, позволивший вместо дифференциальных соотношений обойтись простыми формулами для движения по окружности.

Зная радиус кривизны \(L\) вблизи положения равновесия, найдём период малых колебаний по известной формуле для математического маятника: \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 4\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.