Переливания туда-сюда

Разности температур сосудов и общей равновесной температуры после каждой пары переливаний убывают как геометрическая прогрессия — найдите её знаменатель.

\(T_0 = 85^\circ\)С,  \(t_0 = 4^\circ\)С.

Равновесную температуру \(\tau\), которая установится в калориметрах после большого числа переливаний туда-сюда, можно выразить по закону сохранения внутренней энергии (далее отсчитываем внутреннюю энергию от состояния жидкой воды при \(0^\circ\)С) через температуры в сосудах после любого числа \(k\) переливаний: \[cMT_k + cmt_k = c(M+m)\tau,\] где использована формула для внутренней энергии, предполагающая выбор нуля в состоянии жидкой воды при \(0^\circ\)С. Выразим отсюда \(\tau\) двумя способами: подстановка \(k = n\) даёт возможность явного вычисления \[\tau = \dfrac{MT_n + mt_n}{M+m} = 64{,}75^\circ\text{С},\] а подстановка \(k = 0\) даёт базу для последующих выражений в общем виде: \[\tau = \dfrac{MT_0 + mt_0}{M+m}.\] Примечание. Обратите внимание на сходство полученного уравнения с формулой для координаты центра масс системы из двух материальных точек, если вместо температур подставить координаты. Это не случайное совпадение, а пример интересной тепломеханической аналогии: предлагаем читателям решить всю эту задачу через условия равновесия качелей.

Применим закон сохранения энергии для первого переливания «туда»: \[cmt_0 + c\mu T_0 = c(m+\mu)t_1,\] откуда найдём температуру холодной воды после первого переливания: \[t_1 = t_0 + \dfrac{\mu(T_0 - t_0)}{m+\mu}. \tag{1}\] Применим закон сохранения энергии для первого переливания «обратно»: \[c(M-\mu)T_0 + c\mu t_1 = cMT_1,\] откуда найдём температуру тёплой воды после первого переливания: \[T_1 = T_0 - \dfrac{m\mu(T_0 - t_0)}{M(m+\mu)}. \tag{2}\] Примечание. Когда приходится делать длинные алгебраические преобразования, повышающие вероятность случайной ошибки, очень помогает проверка промежуточных общих результатов на частные случаи. Например, формулы (1) и (2) дают ожидаемый результат (сохранение обеих температур), если \(T_0 = t_0\) (равновесие есть изначально) или если \(\mu = 0\) (нет переливания). Кроме того, в случае \(m = 0\) они дают ожидаемый нагрев этой бесконечно малой массы холодной воды до равновесной температуры \(T_0\) за одно переливание.

Теперь найдём отличия упомянутых выше температур от равновесной: \[\begin{align*} \Delta t_1 &= \tau - t_1 = \dfrac{m(M-\mu)(T_0 - t_0)}{(M+m)(m+\mu)},\\ \Delta t_0 &= \tau - t_0 = \dfrac{M(T_0 - t_0)}{M+m},\\ \Delta T_1 &= T_1 - \tau = \dfrac{m^2(M-\mu)(T_0 - t_0)}{M(M+m)(m+\mu)},\\ \Delta T_0 &= T_0 - \tau = \dfrac{m(T_0 - t_0)}{M+m}, \end{align*}\] а также их отношения, выявив замечательное совпадение: \[\dfrac{\Delta t_1}{\Delta t_0} = \dfrac{m(M-\mu)}{M(m+\mu)} = \dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_0}.\] Равенство отношений отличий температур от равновесной для холодной и тёплой воды доказывает (по методу математической индукции), что в ходе дальнейших переливаний эти отличия будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \[q = \dfrac{m(M-\mu)}{M(m+\mu)} = \dfrac{2}{3}.\] Примечание. Если бы мы доказали этот факт по-другому, то можно было бы не тратить силы на расчёт \(T_1\) и \(\Delta T_1\).

Применим формулу общего члена геометрической прогрессии: \[\Delta T_n = \Delta T_0\cdot q^n\qquad\text{и}\qquad \Delta t_n = \Delta t_0\cdot q^n,\] откуда выражаем начальные температуры: \[T_0 = \tau + (T_n - \tau)\cdot q^{-n}\qquad\text{и}\qquad t_0 = \tau - (\tau - t_n)\cdot q^{-n},\] а далее после подстановки получаем искомые ответы: \[T_0 = \dfrac{MT_n + mt_n}{M+m} + \left(T_n - \dfrac{MT_n + mt_n}{M+m}\right)\cdot\left(\dfrac{M(m+\mu)}{m(M-\mu)}\right)^n = 85^\circ\text{С},\] \[t_0 = \dfrac{MT_n + mt_n}{M+m} - \left(\dfrac{MT_n + mt_n}{M+m} - t_n\right)\cdot\left(\dfrac{M(m+\mu)}{m(M-\mu)}\right)^n = 4^\circ\text{С}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.