Плохая теплопроводность

Решение

A1. Измерим массу воды в кружке:

Ответ:

\[m_{в}=151~ г\]

Измерим комнатную температуру, убедившись, что она совпадает с температурой воды:

Ответ:

\[T_{в} = 18.8\, ^\circ \mathrm C\]

A2. Начальная температура стекла перед погружением в кружку с водой комнатной температуры:

Ответ:

\[T_{с} = 70\,^\circ\mathrm C\]

A3. Поместим стекло в сосуд с водой комнатной температуры, закроем крышкой и вставим термометр. Проведем измерения температуры воды в кружке от времени, перемешивая воду термометром. Занесем данные в таблицу.

Ответ:

A4. Ответ:

\[m_\text{c}=242.5~г\]

A5. Построим график исследованной зависимости температуры внутри стакана от времени.

Ответ:

График зависимости температуры внутри стакана от времени

Видно, что через время \(t_{\max}=7.5~ мин\) температура в воды в кружке достигает максимума:

Ответ:

\[T_{\max}=29.6\,^\circ\mathrm C\]

Рассчитаем на основе этих данных удельную теплоемкость стекла без учета тепловых потерь. Считая, что к моменту достижения водой максимальной температуры установилось тепловое равновесие, а обмена теплом с окружающей средой не происходило запишем уравнение теплового баланса:\[C_{в} m_{в} (T_{\max}-T_{в}) + C_{к} m_{к} (T_{\max}-T_{в}) =C'_{с} m_{с} (T_{с}-T_{\max}), \tag{1}\]где \(C_\text{в}=4200 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость воды, \(C_\text{к}=470 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость кружки. Массу кружки измерим на весах предварительно вылив из нее воду в пластиковый стакан: \(m_\text{к} = 60~ г\), массой утеплителя на дне можно пренебречь по сравнению с массой кружки.

Тогда с учетом массы стекла \(m_\text{c}=242.5~г\) получаем для удельной теплоемкости стекла:

Ответ:

\[C'_{с} = \frac{ (T_{\max}-T_{в})\dot (C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к})}{m_{с} (T_{с}-T_{\max})} = 730 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C) \tag{2}\]

A6. Так как время установления максимальной температуры достаточно существенно, то для более точной оценки удельной теплоемкости стекла необходимо учесть теплопотери. Максимальная температура в кружке сохраняется в течение некоторого времени, вследствие того, что стекло отдает тепла воде примерно столько же, сколько вода отдает окружающей среде. При этом температура стекла все еще выше температуры воды. В дальнейшем температура стекла становится ближе к температуре воды, стекло отдает тепла меньше, а теплопотери в окружающую среду сохраняются. Вследствие этого вода остывает. Через достаточно большое время, после достижения максимальной температуры, можно предположить, что температура стекла практически сравнивается с температурой воды в стакане. Тогда скорость остывания воды (и стекла) связана лишь с мощностью тепловых потерь. Видно, что начиная с приблизительно \(10\) минуты, график можно описать линейной функцией. Рассчитаем его угловой коэффициент на участке с \(10\) до \(30\) минуты, он составляет \(k= - 0.0016~^\circ \mathrm C/\text{с}\). Будем считать, что для мощности тепловых потерь выполняется закон Ньютона–Рихмана. Тогда коэффициент тепловых потерь связан с угловым коэффициентом следующим выражением:\[\alpha=\frac{(C_{в}m_{в}+C_{с}m_{с}+ C_{к}m_{к})k}{(T_1-T_{в})}, \tag{3}\]где \(T_1=28.4\,^\circ\mathrm C\) – средняя температура на линейном участке.

В течение времени проведения эксперимента между измерениями экспериментальных точек с временами \(t_i\) и \(t_{i+1}\) содержимое стакана теряет энергию:\[\Delta Q_i = \alpha \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i) \tag{4}\]Тогда за время \(t\) полное количество энергии, которое потеряет система, можно рассчитать как сумму потерь энергии на каждом из этапов.\[Q(t) = \sum \Delta Q_i =\alpha \sum \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i)= \alpha S(t) \tag{5}\]Величину, находящуюся под знаком суммы обозначим величиной \(S(t)\), смысл которой — площадь между линией графика до момента времени \(t\) и горизонтальной линией, соответствующей температуре \(T_{в}\). Запишем тогда уравнение теплового баланса для системы, предполагая, что при некоторой температуре \(T\), температура стекла совпадает с температурой воды.\[Q =\alpha S(t)=(C_{с} m_{с} + C_{к} m_{к}) (T-T_{с})-C_{в} m_{в} (T-T_{в}). \tag{6}\]Тогда с учетом подстановки \(\alpha\) и перестановки слагаемых получаем\[(C_{в} m_{в}+C_{к} m_{к}) \left(T+\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}-T_{в}\right)=C_{с} m_{с} \left(T_{с}-T-\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}\right). \tag{7}\]Для качественного объяснения полученного результата можно ввести величину\[\Delta T (t) =\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}. \tag{8}\]Можно сказать, что эта величина является поправкой к температуре воды в кружке, возникающей из-за тепловых потерь. Последнее полностью верно лишь в случае одинаковой температуры воды и стекла в кружке. На этапах до выравнивания температуры стекла и воды, следует говорить о поправке к средневзвешенной температуре содержимого в кружке.

Для определения установившейся температуры с учетом поправки по температуре рассчитаем в каждой точке сумму температуры воды в стакане и поправки \(\Delta T\). Построим график этой величины от времени. Видно, что начиная с приблизительно \(18\) минуты график выходит на постоянную величину \(T_{у}=30.5~^\circ \mathrm C\). Именно эту температуру будем считать той, которая бы установилась в стакане в отсутствии потерь. Эту же температуру можно найти не перестраивая график, а усреднив несколько значений температур с поправкой \(T + \Delta T\) на конечном участке графика.

Тогда удельная теплоемкость стекла составит:

Ответ:

\[C_{с} = \frac{(C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к}) (T_{у}-T_{в})}{m_{с} (T_{с}-T_{у})} = 809 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C). \tag{9}\]

Источник: pho.rs/p/3258.